Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
534 kez görüntülendi

$$f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y^2)^2} & , & (x,y)\neq (0,0) \\ \\ 0 & , & (x,y)=(0,0) \end{array} \right.$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$$ fonksiyonu $(0,0)$ noktasında sürekli midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 534 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eğer $(0,0)$ noktasına $y=0$ doğrusu üzerinden yaklaşırsak $$\lim_{x\to 0} \frac{0}{0 + x^2} = \lim_{x \to 0} 0 = 0$$ elde ederiz.

Eğer $(0,0)$ noktasına $y^2=x$ egrisi üzerinden yaklaşırsak $$\lim_{y\to 0} \frac{y^4y^2}{y^4y^2 + 0} = \lim_{y \to 0} 1 = 1$$

elde ederiz. Yani, fonksiyonun bu noktada limiti bile yoktur. Sürekli olamaz.

(2.5k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Özgür'ün yanıtı gayet net. Ben birkaç hususa dikkat çekmek için sorduğum bu soru için bazı hususlara değinmek istiyorum.

 

1) Önce ardışık limitlere bakalım. Yani $(0,0)$ noktasına $x=0$ ve $y=0$ doğruları boyunca yaklaşalım.

$$\lim\limits_{x\to 0}\left[\lim\limits_{y\to 0}\left(\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y^2)^2}\right)\right]=0$$ ve

$$\lim\limits_{y\to 0}\left[\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y^2)^2}\right)\right]=0$$ elde edilir. Ama bu bize limitin $0$ olduğunu garanti etmez.

 

2) İkinci olarak $(0,0)$ noktasına $y=mx$ doğrusu boyunca yaklaşalım.

$$\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{x^2m^2x^2}{x^2m^2x^2+(x-m^2x^2)^2}\right)=0$$ elde edilir. Bu da bize limitin $0$ olduğunu garanti etmez.

 

3) Üçüncü olarak da $$x=r\cos \theta, \ y=r\sin \theta$$ dönüşümü yaparak kutupsal koordinatlara geçelim. Bu durumda da 

$$\lim\limits_{r\to 0}\left(\frac{r^2\cos^2\theta \cdot r^2\sin^2\theta}{r^2\cos^2\theta \cdot r^2\sin^2\theta +(r\cos \theta -r^2\sin^2\theta)^2}\right)=0$$ elde edilir. Ama bu da limitin $0$ olduğunu garanti etmez.

 

4) Dördüncü olarak da Özgür'ün de gösterdiği gibi $(0,0)$ noktasına $x=y^2$ eğrisi boyunca yaklaşırsak

$$\lim_{y\to 0} \frac{y^4y^2}{y^4y^2 + 0} = \lim_{y \to 0} 1 = 1$$ olup yukarıdaki üç yaklaşımdan farklı bir sonuç verdiğini görürüz. Lisans öğrencileri çoğu zaman ilk üç duruma bakıp sonuçlar aynı çıktığında da limit budur diyerek düştükleri bir hataya dikkat çekmek için paylaşılan bu örneğin güzel bir örnek olduğu kanısındayım.

(11.4k puan) tarafından 
20,240 soru
21,759 cevap
73,401 yorum
2,069,507 kullanıcı