Çok değişkenli fonksiyonların sürekliliği

Question

$$f\left( x,y\right) =\left\{\begin{array}{ccc} \dfrac {x^2y^2} {\sqrt{x^2+y^2}}  & , & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & , & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$  kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$

fonksiyonu $(0,0)$ noktasında sürekli midir?

Comments

Bu fonksiyon $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ ile ayni degil mi?

---

haklısınız düzelttim

---

Cozum icin neler yaptin peki? Hangi asamada takildin.

---

ipucu: $x=rsin( \alpha)$  , $y=rcos(\alpha)$ dönüşümü yapıp $(x,y)\rightarrow (0,0)$ iken $r\rightarrow 0$ deyip $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=\lim\limits_{r \to 0}f(rsin(\alpha),rcos(\alpha))$ limitine bak.

Answer 1

Asagidaki esitsizligi kullanbilirsin: $$0 \leq \frac{x^2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} \leq \frac{x^2}{x^2+y^2}(y^2\sqrt{x^2+y^2}) \leq y^2\sqrt{x^2+y^2}.$$