$(-26)^{2015}\equiv x \pmod{5} \text{ ise } x=?$

Question

Sorunun cevabı ne olabilir? Ve nasıl çözülür yardımcı olursanız sevinirim. 

Ben şöyle bir yol izledim ama nerede hata yaptığımı bulamadım. Önce 26'nın sonu 6 ile bittiğinden katları da hep 6 olacak. Modunu istediğine göre 6 nın mod 5 lisine 1 desem üstteki ifade de - olduğundan -1 olur. +5 ekledim 4 buldum. Ama cevapta 0 diyor. :/

Answer 1

Şöyle düşünmek daha sağlıklı olur bence;

$$a\equiv b \pmod{p}$$ ise $$a\equiv b+pq \pmod{p}$$ sonucuna da ulaşılırız, yani denkliklerde yalnızca bir çözüm değil sonsuz farklı çözüm bulunabileceği için istediğimiz kadar $p$ eklemekte serbestiz (doğru koşullarda tabii).

İspatlayalım;

Tanım gereği $a\equiv b \pmod{p}\quad$  $p\mid(a-b)\Rightarrow a-b=pk\Rightarrow a=b+pk$ anlamına geliyordu. O zaman şöyle diyebiliriz;

$a=b+pq+pr\quad$ ($q+r=k$ için) yani $\quad a-(b+pq)=pr\quad$  hala $\quad p\mid[a-(b+pq)]\quad$ diyebildiğimiz için $$a \equiv b+pq \pmod{p}$$ diyebiliriz... 

$$-26\equiv -26 +6\cdot5\equiv 4 \pmod{5}$$  ve $4^2\equiv 1 \pmod{5}$ olduğunu biliyoruz o zaman;

$$4^{2015}=(4^{2})^{1007}\cdot4 \equiv 1\cdot4 \equiv 4 \pmod{5}$$

Comments

Teşekkürler :)

---

Rica ederim, kolay gelsin:)