Sigmalı İfadenin Değerini Hesaplama

Question

Merhabalar;

$$\sum_{k+l=0}^{97}\dbinom{100}{k}\cdot\dbinom{100-k}{l}\cdot\dbinom{100-k-l}{97-k-l}$$ toplamının değerini bulunuz?

Benim Yaklaşımım;

İlk olarak $\quad k+l=0\quad$ olduğunu bildiğimiz için $\dbinom{100-(k+l)}{97-(k+l)}=\dbinom{100}{97}$ olduğu görülebilir.

$\dbinom{100-k}{l}=\dbinom{100+l}{l}$ olur çünkü $l=-k$

Sonrası için bunun kısaltılabilmesi mümkün müdür? Veya gözden kaçırdığım bir numara var mıdır?

Teşekkürler:)

Comments

$k=-l$ yani ayni anda sifir degillerse biri pozitif iken digeri negatif. Binomda taban negatif ise sifir oluyor galiba. (Tanimlamalara gore bazen degisiyor olmali). Bu da sadece $k=l=0$ icin hesapla demek oluyor.

---

Doğru ya binomda taban negatif olamıyordu. Süpersiniz hocam, çok teşekkürler:)

---

Hocam benim kafama bir şey takıldı $k+l=0$ dan $97$ ye kadar gidiyor ama $k+l=0$ sabit mı artıyor mu? 

---

Himmm, evet oyle olmali.  Ifadeleri acabiliriz ve duzenleyebiliriz. $k,l \ne 0$ ise  $$\frac{100\cdots(100-k+1)}{k!}\frac{(100-k)\cdots(100-k-l+1)}{l!}=\binom{100}{k+l}\binom{k+l}{k}$$

---

Yani $\dbinom{100}{k}$  ve $\dbinom{100-k}{l}$ yi açıp carptiniz $\dbinom{100}{k+l}$ lisini nasıl elde ettiğinizi anladım ama $\dbinom{k+l}{l}$ lisine nasıl ulaştığınızı göremedim hocam.

---

Ve hocam direk $k=0$ diyip $l$'ye ona göre değerler versek yasal olur mu?

---

Olur. Burada terimler ve bir kume var ve de bu kume sonlu. Sonlu toplamlarda toplamin degisme ozelligini kullanabiliriz. $a+b=b+a$.

---

$\binom{100}{k+l}$ derken $(k+l)!$'e boldugumuzden bir de carpma ile digeri geliyor.

---

geomania da bu sorunun çözümünü atmıştım. 2017 tübitak olimpiyat sorusu

http://geomania.org/forum/index.php?topic=6200.0

---

Teşekkürler Doğukan:)

---

Rica ederim. iyi çalışmalar :)