Mordell Denklemleri

Question

Merhabalar;

Keith Conrad'ın şuradaki makalesini okuyordum, yabancı bir sitede gördüğüm bir soruda gerekli ilerlemeler yapıldıkça 

$y^2=x^3+4$ biçiminde bir denklem elde ediliyordu, buradan $y^2-4=x^3-8$ dedim ve çarpanlarına ayrımaya çalıştım ; ancak bu denklemin böyle masumca çözülemeyeceğini anlamak uzun sürmedi Makalede özellikle şu kısmı tam olarak anlayamadım; 

(Çeviri);

                                              2.Çözümü Olmayan Örnekler:

$y^2=x^3+k$'nın çeşitli $k$ değerleri için integral çözümleri bulunmadığını kanıtlamak için denklikleri ve 2.derece denklem belit ve düşüncelerini kullanacağız, özellikle $-1,2,-2$'nin $2$'den farklı bir asal sayı $p$ deki denklerinin kare olduğu durumları değerlendireceğiz;

Burada tam olarak soldaki denkliklerden sağdaki denkliklere nasıl geçiş yapıldığını ve sağdaki modüllerin neden $4,8$ olduğunu anlamadım, ayrıca herhangi tek bir asal sayı$p$ için $p=3$ de diyebiliriz ve sanki bu durumda $-1 \equiv 2 \pmod{3} \rightarrow 3\equiv -1 \pmod{4}$ gibi bir sonuca ulaşırız gibi geldi.Acaba şart koşulan durum bu sayının $p$'ye tam bölünmemesi ve $p$'nin 4 ve 8 modunda $1,3,1,7,..$ vs sayılar vermesi mi?

 Biraz kafamı karıştıran bir durum niyeyse; Her türlü yardıma ve fikire açığım. 

(Not: Çevirimde eksikler olabilir, normalde tam olarak hakim olmadığım konularda çeviri yapmamın doğru olduğunu düşünmüyorum, burası haklı olarak Türkçe dağarcık geliştirme amacını güden bir site olduğu için çeviriyi yaptım, ama tabii ki ingilizce bilen hocalarımın da daha farklı bir yorumları olabileceğini düşündüğümden ingilizce metni attım.)

Comments

$\square$ ile kare olup olmadigini sorgulamis. Bunlar "quadratic residue" konusu icerisinde. Benim bir kac sorum vardi sitede, biri burada.

---

Anladım hocam sağolun:) o zaman benim verdiğim ilk kongruansta $3$ yerine $5$ seçmek gerekiyor. Mesela; $$-1 \equiv 4 \pmod{5}$$ ve $$5 \equiv 1  \pmod{4}$$ $p=5$ bu tanıma uyuyor.