Processing math: 10%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
624 kez görüntülendi

p>2 asal olmak uzere (2p)=(1)(p21)/8 esitliginin alternatif ispatlari?

Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 624 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Amac: 2^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{(p^2-1)/8} \mod p oldugunu gostermek:

Ilk olarak p=2s+1 seklinde yazalim. Bu durumda 2^s ile ilgilenecegiz. 

Elimizde (-1 \equiv p-1-3 \equiv p-3, \cdots oldugunu da kullaniyoruz asagida) (-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}s! \equiv [(-1)\cdot1]\cdot[(-1)^2\cdot2]\cdot[(-1)^3\cdot3]\cdot[(-1)^4\cdot4] \cdots [(-1)^s\cdot s] \equiv 2\cdot4 \cdots (p-1) =2^s\cdot s! .Ayrica (-1)^{\frac{s(s+1)}{2}} \equiv (-1)^{(p^2-1)/8} \mod p. (s=(p-1)/2 oldugunu hatirlayalim). Bu da bize ispati veriyor.

(25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

(-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}.s! yerine (-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}.s olması gerekmez mi? Ayrıca \equiv 2.4...(p-1)=2^s.s! eşitliğinin elde edilişini biraz daha açmanız mümkün mü?

Ek: Kopyala yapistir yaparken yanmislikla duznelemeyi biir dedim, bi degisiklik yok ispatta. O nedenle degisiklik var mi diye kontrol etmenize gerek yok.

(-1)^{\frac{s(s+1)}{2}}s! kismi ile basliyorum. Bu nedenle s olmasi durumu yok. Bu bir baslangic. Yanindaki esitligin dogruluguna bakalim. \equiv [(-1)\cdot1]\cdot[(-1)^2\cdot2]\cdot[(-1)^3\cdot3]\cdot[(-1)^4\cdot4] \cdots [(-1)^s\cdot s]. Burada -1 uzerinde 1,2,\cdots,s var ve carpan olarak da 1,2,\cdots,s var. Yani esitlik dogru. Bundan sonra 2\cdot4 \cdots (p-1) =2^s\cdot s!  esitligini sormussunuz. Her terimden 2 carpanini disariya atiyoruz ve s tane terim var, ayrica (p-1)/2=s olmasi bu esitligi verir.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,093,581 kullanıcı