$(x+y)(x+z)(y+z)=txyz$ formundaki diyafont/diyofant bir denklemin çözümü

Question

Merhabalar;

$x,y,z \in \mathbb{Z}$ için

$(x+y)(x+z)(y+z)=13xyz$ denkleminin kaç $(x,y,z)$ tamsayı çözümü vardır?

Benim yaklaşımım;

Henüz daha bu tür soruları çözmek için teknik bir bilgim yok, çalıştığım kitap serisinin üçüncü kitabında işlenen bir konu ve ben daha ikinci kitaptyım, internette buldum, çok saçma şeyler düşünüyorsam şimdiden özür:)

$x=0$ $y=0$ $z=0$ olduğu durumları düşünebiliriz diye düşündüm ve $x+y=0$ dersek mesela bu koşula göre sonsuz $z$ değeri seçebiliriz aynı şekilde $x+z,y+z=0$ koşulları için de sonsuz $x,y$ değerleri bulunabilir diye düşündüm. Bunun haricinde benim görmediğim birkaç $x,y,z=0$ olmayan ve toplamları da $0$ olmayan, azıcık maharet gerektiren çözüm vardır diye düşündüm, sonuç olarak sonsuz sayıda çözümü vardır dedim...

Üç tane soru sormak istiyorum bu neticede;

1)Yaptığım çözüm doğru mu?

2)Bu sorular için en resmi ve düzgün çözüm nasıl yapılır?

3)Eğer $x,y,z \in \mathbb{Z}^+$ deseydi ne yapabilirdim?

Comments

Çalıştığın kitap serisinin adı nedir?

---

Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık

---

Acaba $(1+\frac yx)(1+\frac xz)(1+\frac zy)=13$ olarak düşünsek ve sonra $1.1.13,\quad (-1).(-1).13 \quad $ gibi durumları düşünsek acaba işin içinden çıkabilir miyiz?

---

Güzel bir fikir hocam benim ortalığı $xyz$ ye bölmek aklıma gelmemişti 1 1 13 olursa $x,y,z$  şu an atıyorum $y=3$ $x=\frac{1}{12}$ ve $z=3$ olur. Şimdi bunlar için $y=36$ $x=1$ ve $z=36$ için de denklem sağlanıyorsa ki sağlanıyor bulunan $x,y,z$ değerleri için $kx,ky,kz$ çözümleri vardır bu da sonsuz $x,y,z$ çözümü vardır demektir. $x,y,z \in \mathbb{Z}^+$ gördüğümde bundan böyle yaptığınız gibi yapacağım hocam teşekkür ederim:)

---

Önemli değil.Yalnız bölme işlemi için $x,y,z$ sayılarının sıfırdan farklı tam sayı olduğunu unutmamalıyız.Ancak   $(x,y,z)=(0,0,0)$    bir çözüm.

---

Tabii ki, ama aslında rasyonel kök bulmak da işe yarar, katları da çözümü oluşturacağı için paydaları okekiyle çarparsak istediğimiz tamsayı $x,y,z$ değerlerini bulabiliriz.