Bu aynı zamanda permütasyonda düzensizlik ve istenmeyen permütasyon olarak da bilinir.
İspatlamak için birazcık açalım;
Ve bu fonksiyonu $P(n)$ olarak ifade edelim;
$P(n)=n!\left(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}\right)$ olarak bir kere daha ifade edilebilir.
Şimdi çıkış noktasını inceleyelim;
$P(4)=9$ için (evet bütün kitaplarda bu örnek var ama en kolayı olduğu için ben de bunu kullanacağım)
Elimizde $A,B,C,D$ nesneleri bulunsun;
$A$'nın düzenli olduğu (yani yerinde olduğu) durumlara $S(A)$ diyelim, bu durumları tüm durumlardan çıkaracağız ki (yerinde olmadığı) düzensiz durumları bulalım
$S(A)=S(B)=S(C)=S(D)=3!$ olacaktır $\binom{4}{1}$ tane,
$S(A,B)=S(A,C)=S(A,D)=S(B,D)=S(B,C)=S(D,C)=2!$ olacaktır $\binom{4}{2}$ tane,
$S(A,B,C)=S(A,B,D)=S(B,C,D)=S(A,C,D)=1!$ olacaktır $\binom{4}{3}$ tane,
$S(A,B,C,D)=0!$ ($\binom{4}{4}$ tane)
Buna göre dahiliyet hariciyet prensibi göz önünde bulundurulursa;
$P(4)=4!\text{tüm durumlar}-4\cdot3!+6\cdot2!-4\cdot1!+\binom{4}{4}\cdot0!$
$=4!\left(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right)$ ilişkisini farkedebiliriz;
Bundan sonrası için tek paydalarda $-$ ve çift paydalarda $+$ olduğunu farkedelim;
Ve de $(-1)^n$ anlaşılır hâle gelir...
Buradan sonrası için devam etmeme gerek olduğunu düşünmüyorum çünkü geriye bir tek bulduğumuz ilişkiyi $n$ çiftken ve tek iken yazmak kaldı ve son söz olarak şunu ekleyeyim;
Bu çıkış noktası neden önemli?
$1234$ sayısının $1,2,4$ rakamlarının yerinde olmadığı ($1$'in $1.$ , $2$'nin $2.$ ve $4$'ün $4.$ sırada olmadığı) permütasyonlar? gibi bir soruyla karşılaşınca formülde $P(3)$ doğru cevabı vermeyebiliyor!