Nesnelerin dağılımları

Question

Bir sınıfta 1 öğretmen,9 öğrenci,2 kapı ve 3 pencere bulunuyor.Bir yangın halinde her çıkış yerinden en az bir kimse çıkmak şartıyla öğretmen ve öğrenciler kaç değişik şekilde dershaneyi boşaltabilirler?

Bu soruda öğretmen ve öğrencileri özdeş nesneler gibi değerlendiremeyiz diye düşünüyorum.Öğretmenin yer değiştirmesi sonucu değiştirecektir.Fakat cevapta 10 özdeş nesnenin 5 yere yerleşimi baz alınarak bir sonuca ulaşılmış.Buna ek olarak kapılar ve pencereler de kendi aralarında özdeş kabul edilebilirdi.Hep aynı yerde takılıyorum.Bu tarz sorularda neyin özdeş kabul edilip edilmediğini nasıl çıkarıyorsunuz?Yardımcı olursanız çok sevinirim

Comments

Sorunun cevabı ne? Ben $6.(1+2^9)$ buldum

---

Sorunun cevabı elimdeki kaynakta  126 olarak görünüyor.

---

Acaba şu şekilde düşünülmüş olabilir mi? Çıkışlar çıkış olduğu için bir farklılık yaratmaz ama kimin çıktığı farklı şekil açısından farklılık yaratır en az 1 kişi bütün çıkışlardan cikacaksa $\dbinom{1}{1}.\dbinom{9}{4}$ seçilir ve en az bir kişi diye niteledigimiz 5 kişi tek türlü seçilebilir bunun sonucunda cevap $126$ olur.

Answer 1

Üstünden biraz zaman geçti ama lineer denklem kullanarak çözmeyi öğrenince bu çözümü de ekleyeyim dedim, sanırım biz senle eş zamanlı olimpiyat kombinatorik konularına çalışıyoruz ama ters sırada:) 

Çıkışları ve öğrencileri/öğretmenleri özdeş kabul edelim, her çıkış toplamda 10 öğrenci içerecek yani;

$a+b+c+d+e=10$ Şimdi biz bu denklemin pozitif tamsayı çözümlerini arıyoruz. Çünkü $a,b,c,d,e \geq 1$ yani her çıkışta en az bir kişi bulunacak. Bundan sonrası için özdeş nesnelerin dağıtılması formülünü kullanabilirsin ama $5$ tane $1$ yani altsınırı çıkarmalısın.

$\dbinom{10-5+5-1}{5-1}=\dbinom{9}{4}=126$ bulunur.