Bozuk düzen dağılımları

Question

n tane nesnenin bozuk düzende diziliş  sayısı

$\sum _{k=0}^{n}\dfrac {\left( -1\right) ^{k}} {k!}$ olarak verilmiş. Bu durum nasıl ispatlanabilir?

Comments

Ayrıca şu  soru da formülün değil çıkış noktasının kullanıldığı örneklerden biri. Hatta fikrini de paylaşabilirsin:)

---

Bozuk duzen nedemek? $a_1,\cdots,a_n$ varsa $a_i$ $i.$ sirada olmamali demek galiba. Turkcesi boyle mi bunun? Yani sorum su: bu gercekten bu anlami cikartabilecegimiz bir tanim mi? (Turkce terim bilgim pek iyi degil).

---

@Sercan hocam, mesela bir sayı $a_1a_2a_3$ seklindeyse $a_1$ 1. Sırada $a_2$ nin 2. Ve $a_3$ 3. Sirada asla bulunmadığı permütasyonlar bozuk düzendir.

---

Terim/Tanim adi bu mu? (Kastin o oldugunu anladim).

---

Evet hocam tanımı bu. 

---

Tesekkur ettim, hocam.

---

Siz sağolun hocam.Ben lise 11.sınıf öğrencisiyim:)

---

Ogreten hocadir. Basit prensip ;)

---

             :)

Answer 1

Bu aynı zamanda permütasyonda düzensizlik ve istenmeyen permütasyon olarak da bilinir. 

İspatlamak için birazcık açalım;

Ve bu fonksiyonu $P(n)$ olarak ifade edelim;

$P(n)=n!\left(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{1}{n!}\right)$ olarak bir kere daha ifade edilebilir. 

Şimdi çıkış noktasını inceleyelim;

$P(4)=9$ için (evet bütün kitaplarda bu örnek var ama en kolayı olduğu için ben de bunu kullanacağım)

Elimizde $A,B,C,D$ nesneleri bulunsun;

$A$'nın düzenli olduğu (yani yerinde olduğu) durumlara $S(A)$ diyelim, bu durumları tüm durumlardan çıkaracağız ki (yerinde olmadığı) düzensiz durumları bulalım

$S(A)=S(B)=S(C)=S(D)=3!$ olacaktır $\binom{4}{1}$ tane,

$S(A,B)=S(A,C)=S(A,D)=S(B,D)=S(B,C)=S(D,C)=2!$ olacaktır $\binom{4}{2}$ tane,

$S(A,B,C)=S(A,B,D)=S(B,C,D)=S(A,C,D)=1!$ olacaktır $\binom{4}{3}$ tane,

$S(A,B,C,D)=0!$ ($\binom{4}{4}$ tane)

Buna göre dahiliyet hariciyet prensibi göz önünde bulundurulursa;

$P(4)=4!\text{tüm durumlar}-4\cdot3!+6\cdot2!-4\cdot1!+\binom{4}{4}\cdot0!$

$=4!\left(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right)$ ilişkisini farkedebiliriz;

Bundan sonrası için tek paydalarda $-$ ve çift paydalarda $+$ olduğunu farkedelim; 

Ve de $(-1)^n$ anlaşılır hâle gelir...

Buradan sonrası için devam etmeme gerek olduğunu düşünmüyorum çünkü geriye bir tek bulduğumuz ilişkiyi $n$ çiftken ve tek iken yazmak kaldı ve son söz olarak şunu ekleyeyim;

Bu çıkış noktası neden önemli?

$1234$ sayısının $1,2,4$ rakamlarının yerinde olmadığı ($1$'in $1.$ , $2$'nin $2.$ ve $4$'ün $4.$ sırada olmadığı) permütasyonlar? gibi bir soruyla karşılaşınca formülde $P(3)$ doğru cevabı vermeyebiliyor!

Comments

Dahiliyet hariciyet prensibi hakkında bilgi verebilir misiniz?

---

Tabii, bu $S(A)$ ve benzeri işlemleri birer küme olarak dusunmelisiniz ve $s(S(A)US(B)US(C)US(D))$ ilişkisini kullanıyoruz bu da $S(A)+S(B)+S(C)+S(D)-S(AnB)-S(AnC)-S(AnD)-....+S(AnBnC)+...-S(AnBnCnD)$ 

Yani kümelerin birleşiminde kullandığımız ilişki aynı $s(AuB)=s(A)+s(B)-S(AnB)$ burada dahiliye hariciyet prensibi devreye giriyor kümeleri topluyoruz ikişerli kesişim durumları iki defa olduğu için bire düşürmek için bir kere çıkarıyoruz ve bu + - diye ilerliyor. Cevapta - yi dağıttığım için biraz farklı görünüyor.