Sanırım şu numarayı düşünüyorsunuz :
İddia : Eğer $I=(f_1,...,f_r)=A$ ise her $n_i\in\mathbb{N}$ için $J=(f_1^{n_1},...,f_r^{n_r})=A$.
Kanıt : $I=\sqrt{J}$ olduğu açık. Fakat $1\in I$, haliyle $1\in\sqrt{J}$. Demek ki $1$ elemanının bir kuvveti $J$ idealinde. $1$'in her kuvveti kendisine eşit olduğu için $1\in J$.
Şimdi bu numarayı kullanarak asıl kanıtı yapalım :
Diyelim ki $a\in A$ ve $a$'nın görüntüsü $0$. Öyleyse tüm $i$ için $a/1=0/1\in A_{f_i}$. Demek ki her $i$ için öyle $n_i$ var ki $a\cdot f_i^{n_i}=0$. Yukarıdaki iddiayı kullanarak $1=f_1^{n_1}\cdot c_1+...+f_r^{n_r}\cdot c_r$ yazalım. Öyleyse $a = a\cdot 1 = a\cdot (f_1^{n_1}\cdot c_1+...+f_r^{n_r}\cdot c_r)=(a\cdot f_1^{n_1}\cdot c_1+...+(a\cdot f_r^{n_r})\cdot c_r=0$. Bu da fonksiyonun birebir olduğunu kanıtlar.