Duzenli olmayan yerel halka ornegi

Question

Duzenli yerel halka nedir ve bir tane duzenli olmayan yerel halka ornegi veriniz.

Comments

düzenli ne demek?

---

Regular, Regular Local Ring.

Answer 1

$R$ degismeli ve noetherian bir yerel halka olsun. $\mathfrak{m}$ de $R$'nin maksimal ideali olsun. $k = R / \mathfrak{m}$ diyelim.

$R$'nin Krull boyutu (Krullboy($R$)), $R$'nin icerisinde bulabilecegin en uzun asal ideal zincirinin uzunlugu olarak tanimlaniyor.*

$R$'nin gomme boyutu (gomboy($R$)), $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ $k$-vektoruzayinin $k$-boyutu (vektor uzayi olarak boyutu) olarak tanimlaniyor.**

Elimizde her zaman Krullboy($R$)$\leq$gomboy($R$) esitsizligi var. Bu esitsizlikte esitlik oldugu zaman, $R$'ye duzenli yerel halka diyoruz.

--

Duzenli olmayan yerel halka denince akla gelen ilk ornek $k$ bir cisim olmak uzere $k[x]/(x^2)$ halkasi saniyorum. Yalniz, ben bunun duzenli olmamasini yukaridaki tanima bakarak goremiyorum su an, yalan yok. O yuzden, isi uzatip benim anladigim esdeger bir tanim verecegim. (Ekleme: Yorumlarda ilk once bocalasam da, neden yukaridaki tanimin ise yaradigina dair birkac sey soyledim.)

--

$R$ bir halka olsun. $A$ da bir $R$-modul olsun.

$A$'nin izdusumsel boyutu, izboy$(A)$, $$0 \to P_n \to \ldots \to P_1 \to P_0 \to A \to 0$$ seklinde en kucuk izdusumsel cozunum ***'un boyu. Mesela, yukaridaki cozunum minimal bir cozunum ise, izboy($A$) = $n$ diyoruz. Bu boyut elimizdeki modulun izdusumsel modul olmaktan ne kadar uzak oldugunu olcuyor.

$R$'nin global boyutu, globoy($R$) ise soyle tanimlaniyor: $$\text{globoy}(R) = \sup \{ \text{izboy}(A) : A \text{ bir } R-\text{modul}\}$$

Simdi halkamizin en ustteki gibi oldugunu dusunelim. Degismeli, noetherian, yerel. O zaman

Teorem: $R$ duzenli yerel halkadir ancak ve ancak globoy($R$) sonlu ise.

Ben, genelde bu teorem dolayisiyla duzenli yerel halka diyince sonlu global boyutlu yerel halka dusunuyorum.

--

Simdi, $R = k[x]/(x^2)$ halkasinin global boyutunun sonsuz oldugunu gosterelim. Oncelikle, $k$ cismi dogal olarak bir $R$-modul ($k = R/(\overline{x})$). Ama, $k$'nin $R$-modul olarak izdusumsel boyutu sonsuz. $$\ldots \to k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2) \to k[x]/(x^2) \to k \to 0$$ cozunumu (oklar ile gosterilen fonksiyonlar $x$ ile carpma, yani $x$'i $0$'a, $1$'i $x$'e goturuyorlar.) $k$ icin minimal bir cozunum. Modul kategorimizde izdusumsel boyutu sonsuz olan bir modul buldugumuz icin, halkamizin global boyutu sonsuz. Teoremimiz de bu halkanin duzenli bir yerel halka olmadigini soyluyor.

--


*Eger elimizde $p_0 \subsetneq p_1 \subsetneq \ldots \subsetneq p_d$ seklinde asal idealler varsa, bu uzunlugu $d$ olan bir asal ideal zinciri var demek. $R$ noetherian oldugu icin, her zincir bir sure sonra duracak. Yani, her zincirin uzunlugu sonlu olacak. Ama bu Krull boyutunun sonlu olmasini gerektirmiyor. Ama halkamizi en bastaki gibi (yerel) secersek o zaman Krull boyutumuz her zaman sonlu.

**http://matkafasi.com/11018/reguler-yerel-halka-ve-teget-uzayi

***projective resolution. Ama tmdsozluk'te buna karsilik gelen bir sey bulamadim.

Comments

$k[x]/(x^2)$ halkası köşegen bileşenleri Eşit olan $2\times2$ tipinde üst üçgensel matris halkasına izomorftur. Buradan da görmek mümkün Özgür bey. 

---

Handan Hanim, benim takildigim bir nokta var burada. $R = k[x]/(x^2)$ diyelim.

$R$'nin bir tane maksimal ideali var, o da $(\overline{x})$. Ya da sizin verdiginiz izomorfizma altinda kosegen bilesenleri sifir olan matrislerin olusturdugu ideal. Bu maksimal ideale $\mathfrak{m}$ diyelim. Bu idealin $k$-boyutu 1. $\mathfrak{m}^2$ de sifir ideali. O halde, $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = \mathfrak{m}$ vektor uzayi 1-boyutlu.

Peki Krull boyutu ne bu halkanin? 1 degil mi? Bu durumda esitlik var?

---

Karşı örnek olarak gözükmüyor zaten. Bir tuhaflık var! 

---

$k$ cisim değilse örnek doğru gibi. $k$ yı tamsayılar halkası aldığımızda Karşı örnek olur. 

---

Yok, ornegimin dogrulugundan eminim. Cunku duzenli yerel halkalar, tamlik bolgesi olmak zorundalar ve $k[x]/(x^2)$ tamlik bolgesi degil.

Hatami buldum, simdi duzeltecegim. 

Benim verdigim Krull boyutu taniminda uzunlugu $d$ olan bir zinciri $p_1 \subset p_2 \subset \ldots \subset p_d$ olarak gostermistim. Ama dogru tanimda uzunlugu $d$ olan bir zincir, $p_0 \subset p_1 \subset \ldots \subset p_d$ olarak veriliyor.

Dolayisiyla, $k[x]/(x^2)$'nin Krull boyu 1 degil, 0.

---

Özgür; $k[x]/(x^2)$ tamlık bölgesi değil mi?

---

$x^2 = 0$ ama $x \neq 0$. Tamlik bolgesi degil. Ya da isterseniz, verdiginiz matris halkasinda ozdegerlerinin ikisi de sifir olan matrisler nilpotent.

---

Evet Haklısın. 

Answer 2

$R$ bir halka olmak üzere $\forall x\in R$ için $x=xyx$ olacak şekilde bir $y\in R$ varsa halkaya düzenli(von Neumann regular) denir. Birimli Boolean halkaları, bölmeli halkalar(division rings) örnek olarak verilebilir.

$\Bbb{Z}_{4}$ halkasında $\bar{2}\in \Bbb{Z}_{4}$, $\bar{2}=\bar{2}\bar{a}\bar{2}$ olacak şekilde $\bar{a}\in \Bbb{Z}_{4}$ olmadığından halka düzenli değildir. Ayrıca $\Bbb{Z}_{4}$ lokal(yerel) halkadır. Her elemanı ya tersinirdir yada $J(\Bbb{Z}_{4})$ e aittir. Yani; Jacobson radikaline.