$K$ bir cisim, $A$ da $K$ üzerine sonlu tipte sıfır güçlü elemanı olmayan* bir cebir olsun. Yani $K$ üzerinde tanımlanmış sonlu değişkenli bir polinom halkasının görüntüsüne eşit olsun. Bariz durumlar dışında** $A$ cebirinin herhangi bir asal idealdeki yerelleştirmesinin $K$ üzerine sonlu tipte bir cebir olmadığını gösterin.
*: $rad (A)=0$ olmadığında bunun yine doğru olacağına çok inanıyorum, biraz sıksam gösteririm de sanırım. Yine de sorunun bir parçası olsun. $rad (A)=0$ şartı olmadan yukarıdaki iddia doğru mudur?
**: $A$'nın cisim olmadığı durum.
İpucu: $Spec\, A$ içindeki kapalı kümelerin kapalı noktaları bulundukları kapalı küme içinde yoğundurlar. Sembolik biçimde anlatırsak şöyle yazmamız gerekir. Eğer $\mathfrak{a}\subset A$ bir ideal, $Spm(R)$ ile $A$'nın maksimal ideallerinin tayfını ve $\overline{\cdot}$ ile Zariski topolojisine göre kapanış operatörünü gösteriyorsak, aşağıdaki eşitlik sağlanır: $$\overline{V(\mathfrak{a})\cap Spm(A)}=V(\mathfrak{a})$$
İpucu için ipucu: Bu tipte halkalar Noether normalleştirme yardımcı teoremi sayesinde Jacobson'dur. Yani nilradikal Jacobson radikale eşittir.