Baglantili uzay uzerinde yerel sabit fonksiyon

Question

Gosteriniz: Baglantili uzay uzerinde yerel sabit fonksiyon sabittir.

Su soru ile ilgisi de var: (cevapta geciyor) sabit óndemetin demetlestirilmesi

Answer 1

$X$ baglantili bir uzay ve $f$ fonksiyonu $X$ uzerinde yerel sabit bir fonksiyon olsun. $c \in f(X)$ alalim. Yani, $f$ fonksiyonu $c$ degerini en az bir kere alsin.

Su kumeye bakalim: $$A = \{ x \in X : f(x) = c \}$$

Simdi, $a \in A$ alalim. $f$ yerel sabit oldugu icin, $a$'nin bir acik komsulugunda $f$ sabit olmali. $f(a) = c$ oldugundan, bu sabit $c$ olmali. Yani, $A$ kumesi $a$'nin bir acik komsulugunu icerir. Bu da demek oluyor ki $A$ kumesi acik bir kumedir.

Ayni mantigi kullanarak $X \setminus A$ kumesinin de acik oldugunu gosterebiliriz.

Demek ki

1. $X = A \cup (X \setminus A )$. 
2. $A$ acik, $X \setminus A$ acik.
3. $A \cap (X \setminus A) = \emptyset$

Asagidaki onsava gore elimizdeki 3 sart sunu soyluyor: Ya $A$ ya da $X \setminus A$ bos kume olmali. $A$'nin bos kume olmadigini bildigimize gore, $X \setminus A$ bos kume olmali. Demek ki $X = A$. Yani, her $x \in X$ icin $f(x) = c$. f sabit fonksiyon.

Onsav (Ya da Baglantisiz Olmanin Esdeger Tanimi): $X$ bir topolojik uzay ve $A, B \subseteq X$ boskumeden farkli iki alt kume olsun. $A, B$ acik, $A \cap B = \emptyset$ ve $A \cup B = X$ ise $X$ baglantisiz bir uzaydir.

Comments

Onsav ne demek tam olarak (bir de varsa ingilizce karsiligi)? Tanim degil mi en sondaki? Bilmedigimden soruyorum. Geri kalanini anladim.

---

Onsav ya da yardimci teorem, yunanca Lemma'nin karsiligi olarak kullaniliyor. Ya da en azindan ben oyle anliyorum. Bir teorem olacak kadar guclu degil ama teoreme giden yolda kullanilacak kucuk bir yardimci teorem.

Ve haklisin. Baglantisiz olmanin esdeger tanimlarindan bir tanesi en sondaki. 

---

Tesekkur ettim :)    

---

Bir de Onsav = Önsav. :)