Süreklilik tanımına itirazı olanlar

Question

Bir çok matematik kitabında süreklilik tanımı aşağıdaki gibi verilmektedir. Bu tanıma dair (varsa) eleştirilerinizi istirham edeceğim.

"$A\subseteq \mathbb{R}$ ve $f:A\to \mathbb{R}$ fonksiyon ve $a\in A$ olmak üzere eğer $f$ fonksiyonunun $a$ noktasındaki limiti fonksiyonun o noktada aldığı değere eşit ise $f$ fonksiyonuna $a$ noktasında süreklidir denir."

Comments

$f(x)=\sqrt{x^2(x^2-1)}$ olsun.

$f$ nin tanım kümesi: $(-\infty,-1]\cup\{0\}\cup[1,+\infty)$ olur. $f$, 0 da tanımldır.

Bu tanıma göre $f,\ 0$ da sürekli mi?

Sorun şurda: $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ anlamlı mı? Anlamlı ise, bu limit nedir?

---

Benim de vurgulamak istediğim nokta da tam bu idi. Bu tanıma (!) göre $f$ fonksiyonunn $0$ noktasında sürekli olup olmadığı sorusunu cevaplayamayız. Çünkü $0$ noktası $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin bir yığılma noktası olmadığından $0$ noktasındaki limit anlamlı değildir. Bu yüzden yukarıdaki tanım(!) sağlıklı yapılmış bir tanım değildir. Şöyle bir benzetme yapabiliriz. Boyu 1 m. den küçük olanlara kısa boylu; 2 m. den büyük olanlara da uzun boylu denir diye bir tanım yapmış olalım. Bu tanıma göre boyu 1,5 m. olan bir için ne dememiz gerekiyor? Tanıma göre bir şey diyemiyoruz. Yukarıda yazılı olan süreklilik tanımında da böyle bir sorun var. Bu yüzden yukarıdaki gibi verilen süreklilik tanımı sağlıklı bir tanım olmamaktadır.

---

Ben problemi tam anlamadım. Neden bu durumda limit yoktur diyemeyelim? Sürekliliğin tanımı da genelde "... limit varsa ve ... eşitse..." diye verilmiyor mu kitaplarda? Bir şeyi gözden kaçırıyorum sanırım.

---

$a\in A$ noktasında limit vardır ya da limit yoktur diyebilmemiz için $a$ noktasının öncelikle fonksiyonun tanım kümesi bir yığılma noktası olması gerekiyor. Aksi taktirde limitten bahsedemeyiz. Tıpkı $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun $x=0$ noktasında sürekli olmasından ya da olmamasından bahsedemediğimiz gibi. Doğan hocamın verdiği örneği ele alırsak $0\in D_f$ olmasına karşın $0$ fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olmadığından dolayı $0$ noktasında limitten bahsedemeyiz. Dolayısıyla soruda vermiş olduğum tanım (!) $f$ fonksiyonunun $0$ noktasında sürekli olması ya da olmaması hususunda bize bir şey söyleyemez.

---

Neden "eğer yığılma noktasında değilse limit yoktur" diyemiyoruz? Böyle diyebiliyorsak ve senin verdiğin süreklilik tanımına "limit varsa ve..." gibi bir ekleme yaparsak olmaz mı?

---

Şöyle ifade edeyim. Mesela yansıma, simetri, ters simetri, geçişme vs. gibi özellikler bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bağıntılarda söz konusu edilir. Örneğin bir $A$ kümesinden bir $B$ kümesine tanımlı bağıntılarda adı geçen özellikler söz konusu edilmez. Limit kavramında da durum aynı. Söz konusu nokta fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası değilse limitin var olması ya da olmaması söz konusu edilmez. Kaldı ki Doğan hocamın verdiği örneğe tekrar bakarsak 0 noktasında limit yok dediğimizi düşünürsek fonksiyon 0 noktasında sürekli değildir demek zorunda kalacağız ama söz konusu fonksiyon 0 noktasında sürekli bir fonksiyondur.

---

Yazdığın şey benim sorumu cevaplamıyor ki. "Söz konusu nokta fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası değilse limitin var olması ya da olmaması söz konusu edilmez." diyorsun. Benim sorum "Neden edilmez/edilemez?". Cidden anlamadığım için soruyorum. Basit bir şeyi mi gözden kaçırıyorum?

"Ama söz konusu fonksiyon $0$ noktasında sürekli bir fonksiyondur." Neden böyle olmasını istiyoruz ki? Grafiğine bakınca hiç de sürekli bir fonksiyon gibi gözükmüyor?

---

İstersen birkaç soru üzerinden devam edelim. Süreklilik tanımını soruda yazdığım gibi verilirse $$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun sürekliliği için (kuralı ne olursa olsun) ne diyeceğiz? Sürekli mi? Yoksa değil mi? Soruda verdiğim tanım bu fonksiyonun sürekli olduğunu da söylemiyor süreksiz olduğunu da. Bu yüzden süreklilik tanımı soruda yazdığım gibi verilemez/verilmemelidir. Çünkü o tanım bazı fonksiyonların sürekli olup olmaması ile ilgili birşey söylemiyor. Örneğin Doğan hocamın verdiği örnekte $0$ noktası için fonksiyonun o noktada sürekli olması ya da olmaması hususunda birşey söylemediği gibi.

Öte yandan $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonu için birçok kitapta süreksiz olduğu yazılır. Gerekçe olarak da fonksiyon $0$ noktasında sürekli değildir denir. Oysa ki $0$ noktası fonksiyonun tanım kümesinde değildir. Bu yüzden $f$ fonksiyonu $0$ noktasında yüreklidir ya da yüreksizdir demek ne kadar anlamsız ise süreklidir ya da süreksizdir demek de o kadar anlamsızdır. Süreklilik ya da süreksizlik tanım kümesindeki noktalar için söz konusu edilir. Benzer şekilde limitten bahsetmek istiyorsak ilgili noktanın fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerekir. Aksi taktirde limit söz konusu edilmez. Yani yine Doğan hocamın verdiği örnek üzerinden konuşursak $f$ fonksiyonunun $0$ noktasındaki simiti nedir sorusu ne kadar anlamsızsa $0$ noktasındaki limiti nedir sorusu da o kadar anlamsızdır. Sanırım meramımı anlatabildim.

---

Ben de buradaki sorunun ne olduğunu anlayamıyorum. Bir fonksiyonun $a$ noktasındaki süreklilik için limitli tanımı kullanıyorsak elbette ki $a$'ya yakınsayan $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dizilerden fonksiyonun tanım kümesi içinde kalan dizileri ele alabiliriz. Doğan hocanın verdiği örnekte de, tanım kümesi içinde $0$'a yakınsayan bütün diziler bir noktadan sonra $0$ sabit dizisi olacağı için verilen fonksiyon $0$ noktasında süreklidir.

---

Özgür, sen yanlış resme bakıyorsun. Tanım kümesini kendi başına değil, $\mathbb{R}$ içinde görüyorsun, o yüzden sana süreksizmiş gibi gözüküyor.

---

Soruna biraz da pratik yönden bakalım:

Süreklilik tanımı böyle yapılırsa verdiğim örnekteki duruma ne diyebiliriz?

Limit alınacak noktanın fonksiyonun yığılma noktası olması koşulundan vazgeçilip,  limit tanımı, benzer şekilde ( $\varepsilon-\delta$ ile) yapılırsa (tüm bu durumlarda) HER $L\in\mathbb{R}$ için $\lim_{x\to a}f(x)=L$ olur. (Limitin teklik özelliği bozulur) Bu durumu herhalde istemeyiz. 

Buna izin verirsek, örneğimdeki gibi durumlarda $\lim_{x\to0}f(x)=f(0)$ önermesinin doğru olup olmadığı tartışılacak bir konu haline gelir.

Lise düzeyinde yığılma noktası tanımı yapmak ve fonksiyonun tanım kümesinde ve tanım kümesinin yığılma noktalarında böyle tanımlamak, tanım kümesinin, yığılma noktası olmayan noktalarında fonksiyon süreklidir (veya süreksizdir) şeklinde tanımlamak düşünülebilir.

Birinci sorun: lise düzeyinde yığılma noktası tanımı yapmak bence pek iyi olmaz. Ayrıca iki sürekli fonksiyonun sürekli olduğu durumlarda (toplama,çıkarma vs işlemleri ile) üreteceğimiz üçüncü fonksiyonun sürekli olması önermesi (yığılma noktası olmayan noktalarda sürekli olarak tanımlarsak)  doğru olur ama ispatı için değişik durumları incelemek gerekir. Aynı önerme  (yığılma noktası olmayan noktalarda süreksiz olarak tanımlarsak) yanlış olur. (Örnek bulmak o kadar zor değil)

Bu nedenle süreklilik tanımı yaparken limit kavramını kullanmamak işi kolaylaştırıyor.

Noktamız aynı zamanda fonksiyonun tanım kümesinin yığılma noktası ise standart ($\varepsilon-\delta$ ile) süreklilik tanımından, bu eşitliği bir teorem olarak kolayca elde ediyoruz.

---

Hocam ben neden her $L$ için $\lim_{x\longrightarrow a}f(x)$'in $L$'ye eşit olacağını anlamadım. Çünkü $a$'ya yakınsayan "tek bir dizi" var, o da bir süre sonra sabit olarak $a$ olan dizi. O dizi için limit $f(a)$'ya eşit oluyor.

---

Limiti ($\lim_{x\to a}f(x)$) diziler yardımı bulmak istersek,

$x_n\to a$ ve (fonksiyonun o noktadaki değerini gözardı etmek için) $\forall n\in\mathbb{N}$ için $x_n\neq a$ (ve her bir $x_n$ fonksiyonun tanım kümesinde) şeklinde diziler kullanmak gerekir. 

 Yığılma noktası olmayan noktalarda böyle bir dizi yoktur.

---

Peki $a$'daki süreklilikten söz ederken, $x_n\neq a$ olan diziler yerine bütün dizilere bakmak bize ne kaybettirir ki?

---

Limit kullanmadan, süreklilik tanımlarken bu tip dizileri kullanabiliriz, hiç bir sorun olmaz.

(Ben 1. sınıf lisans öğrencisi iken rahmetli Tuğrul Taner in  Calculus dersinde süreklilik böyle tanımlanmıştı)

Yığılma noktası olmayan noktalarda bir yerden sonra dizi sabit olduğu için o tip noktalarda fonksiyonun sürekli olacağı hemen görülüyor.

Ben, soruda sözü edilen, fonksiyonun ( $a $ daki) limitini bulmak istiyorsak $x_n\neq a$ şeklinde diziler kullanmalıyız demek istedim.

---

Süreklilik ile ilgili kafa karışıklığım saçmaymış, limit için de ikna oldum. Teşekkürler.

Answer 1

Eğer A kümesi a noktasının yığılma noktalar kümesini kapsıyorsa ve f(a) tanımlı ise, bu tanım doğrudur.

Comments

"Eğer A kümesi a noktasının yığılma noktalar kümesini kapsıyorsa . . . " demek ne demek?