Supremum infimum sorusu

Question

\begin{align*} & X\subseteq A\\ & X=\left\{ \dfrac {n^{3}+1} {n^{4}+1}:n\in \mathbb{Z} \right\} \end{align*} için supX=1/2 , inf X=-1/2 oldugunu gösteriniz.

\begin{align*} & n^{4}+1\geq 1\\ & \dfrac {n^{3}} {n^{4}+1}+\dfrac {1} {n^{4}+1}\leq \dfrac {n^{3}} {n^{4}+1}+1\end{align*} gibi bi yaklaşımda bulundum ama gerisini getiremedim supremum ve infimumun karakteristik özelliklerini kullanarak bu tip sorulara nasıl yaklaşmalıyım?

Answer 1

$n = 0$ ya da $n = 1$ koyarsan $$\frac{n^3 + 1}{n^4 + 1} = 1$$ oluyor. Demek ki $$1 \in X. $$ Demek ki $$1 \leq \sup X.$$ Supremum $1/2$ olamaz yani. Bunun dışında bu tip sorulara şöyle yaklaşmayı deneyebilirsin. $n > 0 $ için $$\frac{n^3 + 1}{n^4 + 1} \geq \frac{(n+1)^3+1}{(n+1)^4 + 1}$$ olur (neden)? Yani bu dizinin pozitif terimleri giderek azalıyor. Demek ki (en azından) pozitif kısım için alınabilecek en büyük değer $1$. $n < 0$ için dizinin terimleri sıfır ya da sıfırdan küçük olduğu için $1$'in supremum olması gerektiğini görebilirsin.

Comments

Hocam infimum icin nasil yaklaşmalıyız peki ?

---

Aslinda dizi $n\geq4$   ve  $n\leq-4$    icin hizla sifira yaklasiyor. Bunun icin   $-4\leq n\leq4$  n degerlerine bakmak yeterli.

$\{-63/257, -13/41, -7/17, 0, 1, 1, 9/17, 14/41, 65/257\}$

  $\sup X=1$   ve

  $\inf X=\frac{-7}{17}$  mis.

---

@erdem101010 Genel olarak, eğer kümen artan ve yakınsayan bir diziden oluşuyorsa kümenin supremumu bu dizinin limiti olur. Infimum ise ilk başladığın terim olur. Bunda anlaştık mı? 

Eğer azalansan bunun tersi geçerli. Bunda da anlaştık mı?

Senin durumun bundan biraz daha karışık. Ama yine aynı mantık. Pozitif terimlere bakacak olursak, dizi azalıyor ve $0$a yakınsıyor. Eğer kümen sadece bu pozitif terimlerden oluşuyor olsaydı, infimum $0$ ve supremum $1$ olacaktı. Ama bir de negatif terimler var işin içinde. Bunlara baktığımızda da yine sıfıra yaklaştığını görüyoruz (bu sefer artarak), geri kalan da Ökkeş Dülgerci'nin yaptığını yapmak.

Böyle bir şey gördüğünde korkmadan ilk 5-10 terimi yazarı. Bir bak bakalım ne oluyor. Ökkeş Dülgerci'nin yaptığı gibi ilk 4-5 terimi yazsan bile hemen görüyorsun dizinin nasıl bir davranış sergilediğini.

---

Soruda  X\subseteq \mathbb{R}  yazmam gerekirdi yanlıs yazmisim. Benim kafamı karıştıran supremum veya infimumun X kümesine ait olma zorunlulugu olmaması oldu cevaplar için teşekkur ederim