Topoloji olduğunu gösteriniz.

Question

$X\neq\emptyset$ küme ve $\mathcal{B}\subseteq 2^X$ olmak üzere $\mathcal{B}$ ailesi 

$\mathbf{b_1)} \ \bigcup\mathcal{B}=X$ 

$\mathbf{b_2)} \ (\forall B_1,B_2\in\mathcal{B})[x\in B_1\cap B_2\Rightarrow (\exists B_3\in\mathcal{B})(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2)]$ 

koşullarını sağladığına göre

$$\tau=\{A|(\forall x\in A)(\exists B\in\mathcal{B})(x\in B\subseteq A)\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. 

Answer 1

$\mathbf{T_1})$  $x\in X$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in X \\ \mathbf{(b_1)}\end{array}\right\}\Rightarrow x\in X =\bigcup\mathcal{B}\Rightarrow (\exists B\in\mathcal{B})(x\in B\subseteq X)\Big{/}X\in\tau.$

$[\underset{0}{\underbrace{x\in\emptyset}}\Rightarrow \underset{p}{\underbrace{(\exists B\in\mathcal{B})(x\in B\subseteq \emptyset)}}]\equiv 1.$

O halde $\emptyset\in\tau$ olur.

$----------------------------------------$

$\mathbf{T_2})$ $A_1,A_2\in\tau$  ve  $x\in A_1\cap A_2$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in A_1\cap A_2\Rightarrow (x\in A_1)(x\in A_2) \\ A_1,A_2\in\tau\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists B_1\in\mathcal{B})(\exists B_2\in\mathcal{B})(x\in B_1\subseteq A_1)(x\in B_2\subseteq A_2)$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (B_1,B_2\in\mathcal{B})(x\in B_1\cap B_2\subseteq A_1\cap A_2) \\ \mathbf{(b_2)}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists B_3\in\mathcal{B})(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\subseteq A_1\cap A_2).$

O hlade $A_1\cap A_2\in\tau$ olur.

$----------------------------------------$

$\mathbf{T_3})$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $x\in \bigcup \mathcal{A}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in \bigcup \mathcal{A} \\ \mathcal{A}\subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow (\exists A\in\mathcal{A})(x\in A\in \tau)\Rightarrow (\exists B\in\mathcal{B})(x\in B\subseteq A\subseteq\bigcup\mathcal{A})$

O halde $\bigcup\mathcal{A}\in\tau$ olur.

Comments

$\mathbf{T_1}$ koşulu için şu açıklamayı ilave edelim. Hipotezi yanlış olan her koşullu önerme doğrudur.