Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A,B\subseteq X$ olmak üzere $$A\subseteq B\Rightarrow D(A)\subseteq D(B)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Bu kisim yanlis anlama ile yazilmistir:

Bu zaten ilgili sorunun basit bir cikarimi (hatta ona ihtiyac duymadan bile basitcene ispatlanabilir).

Ilgili soruda $A\subset B$ bilgisini kullanirsak $A\cup B=B$ olur. Dolayisiyla $$D(B)=D(A\cup B)=D(A) \cup D(B)\supseteq D(A)$$ olur.


_________
Murad Ozkoc'un yazim tarzi gibi yazmayi denersem ispat su sekilde olur (diye dusunuyorum): 

$$x\not \in  D(B)$$ 

$$\Rightarrow$$ 

$$(\exists U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap B=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\setminus\{x\})\cap A\subseteq (U\setminus\{x\})\cap B=\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\setminus\{x\})\cap A=\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$x\not \in  D(A)$$ 

Comments

Bir itirazım var. Önceki sorunun ispatında $$A\subseteq B\Rightarrow D(A)\subseteq D(B)$$ bilgisini zaten kullandık. Dolayısıyla $$D(A\cup B)=D(A)\cup D(B)$$ bilgisini kullanarak

$$A\subseteq B\Rightarrow B=A\cup B\Rightarrow D(B)=D(A\cup B)=D(A)\cup D(B)\supseteq D(A)$$ olur demek doğru olmaz.

---

Haklisin. Benim kafam cikarima gitti, onsav olarak ispatlamak gerekli tabii ki de. Cevap kalsin, vaktim oldugunda duzenleyecegim. (Kisa bir zaman icerisinde).

---

Duzenledim hatta.

---

İspatlarda mümkün olduğunca Matematiğin Evrensel Sembolik Dili'ni kullanmaya çalışıyorum. Bu sayede yazılanlar, Matematiğin Evrensel Sembolik Dili'ni bilen herkes tarafından (başka hiçbir dil bilmeksizin) anlaşılacaktır.

Answer 2

Sercan'ın yaptığından pek farklı değil ama bir ispatta ben ekleyeyim.

$A\subseteq B$  ve  $x\in D(A)$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in D(A)\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap A\neq \emptyset) \\ A\subseteq B \end{array}\right\}\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap B\neq \emptyset)$

$\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap B\neq \emptyset)$

$\Rightarrow x\in D(B).$