Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
456 kez görüntülendi

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A,B\subseteq X$ olmak üzere $$A\subseteq B\Rightarrow D(A)\subseteq D(B)$$ olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 456 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu kisim yanlis anlama ile yazilmistir:

Bu zaten ilgili sorunun basit bir cikarimi (hatta ona ihtiyac duymadan bile basitcene ispatlanabilir).

Ilgili soruda $A\subset B$ bilgisini kullanirsak $A\cup B=B$ olur. Dolayisiyla $$D(B)=D(A\cup B)=D(A) \cup D(B)\supseteq D(A)$$ olur.



_________
Murad Ozkoc'un yazim tarzi gibi yazmayi denersem ispat su sekilde olur (diye dusunuyorum): 

$$x\not \in  D(B)$$ 

$$\Rightarrow$$ 

$$(\exists U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap B=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\setminus\{x\})\cap A\subseteq (U\setminus\{x\})\cap B=\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$(U\setminus\{x\})\cap A=\emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$x\not \in  D(A)$$ 

(25.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Bir itirazım var. Önceki sorunun ispatında $$A\subseteq B\Rightarrow D(A)\subseteq D(B)$$ bilgisini zaten kullandık. Dolayısıyla $$D(A\cup B)=D(A)\cup D(B)$$ bilgisini kullanarak

$$A\subseteq B\Rightarrow B=A\cup B\Rightarrow D(B)=D(A\cup B)=D(A)\cup D(B)\supseteq D(A)$$ olur demek doğru olmaz.

Haklisin. Benim kafam cikarima gitti, onsav olarak ispatlamak gerekli tabii ki de. Cevap kalsin, vaktim oldugunda duzenleyecegim. (Kisa bir zaman icerisinde).

Duzenledim hatta.

İspatlarda mümkün olduğunca Matematiğin Evrensel Sembolik Dili'ni kullanmaya çalışıyorum. Bu sayede yazılanlar, Matematiğin Evrensel Sembolik Dili'ni bilen herkes tarafından (başka hiçbir dil bilmeksizin) anlaşılacaktır.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Sercan'ın yaptığından pek farklı değil ama bir ispatta ben ekleyeyim.

$A\subseteq B$  ve  $x\in D(A)$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} x\in D(A)\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap A\neq \emptyset) \\ A\subseteq B \end{array}\right\}\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap B\neq \emptyset)$

$\Rightarrow (\forall U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap B\neq \emptyset)$

$\Rightarrow x\in D(B).$

(11.4k puan) tarafından 
20,194 soru
21,724 cevap
73,248 yorum
1,870,849 kullanıcı