$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$A\cup D(A)\in C(X,\tau)$$ olduğunu gösteriniz.

Question

NOT : 

$$D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$$

$$A, \,\ \tau\text{-kapalı}:\Leftrightarrow \setminus A, \,\ \tau\text{-açık}$$

$$C(X,\tau):=\{A|A, \tau\text{-kapalı}\}$$

Answer 1

Soruda da ifade ettiğimiz kapalı küme tanımı gereği  $$A\cup D(A)$$ kümesinin tümleyeninin açık olduğunu gösterirsek ispat biter.

$x\in\setminus(A\cup D(A))\Rightarrow x\notin (A\cup D(A))$

$\hspace{3,5cm}\Rightarrow (x\notin A)(x\notin D(A))$

$\hspace{3,5cm}\Rightarrow (x\notin A)(\exists U\in\mathcal{U}(x))((U\setminus\{x\})\cap A=\emptyset)$

$\hspace{3,5cm}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A=\emptyset)$

$\hspace{3,5cm}\overset{?}{\Rightarrow} (\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\cap A=\emptyset)(U\cap D(A)=\emptyset)$

$\hspace{3,5cm}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))((U\cap A)\cup (U\cap D(A))=\emptyset)$

$\hspace{3,5cm}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\cap (A\cup D(A))=\emptyset)$

$\hspace{3,5cm}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(U\subseteq \setminus (A\cup D(A)))$

$\hspace{3,5cm}\Rightarrow x\in \left[\setminus (A\cup D(A))\right]^{\circ}$

O halde $$\setminus(A\cup D(A))\subseteq \left[\setminus (A\cup D(A))\right]^{\circ}\ldots (1)$$ elde edilir. Öte yandan $$\left[\setminus (A\cup D(A))\right]^{\circ}\subseteq\setminus(A\cup D(A)) \ldots (2)$$ kapsaması daima doğrudur.

$$(1),(2)\Rightarrow \setminus(A\cup D(A))=\left[\setminus (A\cup D(A))\right]^{\circ}$$

$$\Rightarrow$$

$$\setminus(A\cup D(A))\in\tau$$

$$\Rightarrow$$

$$A\cup D(A)\in C(X,\tau).$$

Not: "?" işaretinin olduğu geçişin iyice düşünülmesini tavsiye ederim.

Answer 2

$$x\notin (A\cup D(A))$$ $$\Rightarrow$$ $$(x\notin A)(x\notin D(A))$$

$$\Rightarrow$$

$$(x\notin A)(\exists U\in \mathcal{U}(x))((U\setminus \{x\})\cap A=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\exists U\in \mathcal{U}(x))(U\cap A=\emptyset)$$

$$\Rightarrow$$ $$x\notin \overline{A}$$

O halde $$\overline{A}\subseteq A\cup D(A)\ldots (1)$$ elde edilir. Öte yandan

$$\left.\begin{array}{rr} A\subseteq \overline{A} \\ D(A)\subseteq \overline{A} \end{array}\right\}\Rightarrow A\cup D(A)\subseteq \overline{A}\ldots (2)$$

$$(1),(2)\Rightarrow \overline{A}=A\cup D(A)\ldots (3)$$

Öte yandan $$\overline{A}\in C(X,\tau)\ldots (4)$$ her zaman doğru. O halde

$$(3),(4)\Rightarrow A\cup D(A)\in C(X,\tau).$$