Hausdorff Uzaylarına Dair

Question

$|X|\geq\aleph_0$ ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|<\aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$ olmak üzere $(X,\tau)$ topolojik uzayının Hausdorff olmadığını gösteriniz.

Yani sonsuz bir $X$ kümesini tümleyenleri sonlu topoloji ile birlikte ele aldığımızda elde edilen topolojik uzayın Hausdorff olmadığını gösteriniz.

Comments

İpucu olarak buradaki linkten faydalanılabilir.

Answer 1

$(X,\tau)$ topolojik uzayının Hausdorff uzayı olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rr}  (x,y\in X)(x\neq y) \\ \\ (X,\tau), \text{ Hausdorff}\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(x))(\exists V\in\mathcal{U}(y))(U\cap V=\emptyset)$

$\Rightarrow (|X\setminus U|<\aleph_0)(|X\setminus V|<\aleph_0)((X\setminus U)\cup(X\setminus V)=X)$

$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (|(X\setminus U)\cup (X\setminus V)|<\aleph_0)(|(X\setminus U)\cup(X\setminus V)|=|X|)\\ \\ |X|\geq \aleph_0 \end{array}\right\}\Rightarrow \text{Çelişki}.$

O halde $(X,\tau)$ topolojik uzayı Hausdorff uzayı değildir.

Comments

2. bir yol olarak yukarıdaki yorumumda da ifade ettiğim gibi $$\Delta=\{(x,x)|x\in X\}\overset{?}{\in} \mathcal{C}(X\times X,\tau\star \tau)$$ önermesinin doğru olup olmadığı da bize yardımcı olacaktır.