Başlangıç değer problemi

Question

1 cevap

Yasin Şale · Answer 1 · 2017-06-04T13:16:17+0000

Bu denklem kolayca ayrıştırılabilir: $y(0)=0$ için,

$\frac{e^x}{e^x+1}dx=\frac{\sin y}{\cos y+3}dy$

bu denklemi integre edersek, $A,B$ keyfî sâbitler olmak üzere,

$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=A\ln\left(e^x+1\right)$

$\int\frac{\sin y}{\cos y+3}dy=-B\ln(\cos y+3)$

elde edilir. İki ifâdeyi eşitlersek,

$\ln(\cos y+3)=C\ln\left(e^x+1\right)$

alırız. Burada $C=-A/B$ ile kısaltılmıştır ve değeri başlangıç değerinden bulunacaktır. $x=0$ için $y=0$ koyarsak,

$\ln 4=C\ln 2\Rightarrow C=2$

Böylece çözüm:

$\ln(\cos y+3)=2\ln\left(e^x+1\right)=\ln\left(e^x+1\right)^2\Rightarrow \cos y+3=(e^x+1)^2$

ve $y=\arccos\left[(e^x+1)^2-3\right]$

şeklinde açıkça yazılabilir.