Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
12k kez görüntülendi
$\begin{align*} & \left( e^{x}+1\right) \sin ydy+e^{x}\left( \cos y+3\right) dx=0\\ & y\left( 0\right) =0\end{align*} $

başlangıç değer probleminin çözümü nedir?
Lisans Matematik kategorisinde (22 puan) tarafından  | 12k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu denklem kolayca ayrıştırılabilir: $y(0)=0$ için,

$$\frac{e^x}{e^x+1}dx=\frac{\sin y}{\cos y+3}dy$$

bu denklemi integre edersek, $A,B$ keyfî sâbitler olmak üzere,

$$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=A\ln\left(e^x+1\right)$$ 

$$\int\frac{\sin y}{\cos y+3}dy=-B\ln(\cos y+3)$$

elde edilir. İki ifâdeyi eşitlersek,

$$\ln(\cos y+3)=C\ln\left(e^x+1\right)$$

alırız. Burada $C=-A/B$ ile kısaltılmıştır ve değeri başlangıç değerinden bulunacaktır. $x=0$ için $y=0$ koyarsak,

$$\ln 4=C\ln 2\Rightarrow C=2$$

Böylece çözüm:

$$\ln(\cos y+3)=2\ln\left(e^x+1\right)=\ln\left(e^x+1\right)^2\Rightarrow \cos y+3=(e^x+1)^2$$

ve $$y=\arccos\left[(e^x+1)^2-3\right]$$

şeklinde açıkça yazılabilir.

(1.4k puan) tarafından 

Selam Yasin. (Katkilarindan dolayi tesekkurlerimi sunuyorum ilk basta). Icerik katilmamis sorulari (aslinda) cevaplamamiz gerekli. Icerik katmamis kisileri icerik katmaya davet edip kisi icerik kattiktan sonra cevap paylasmamiz (siteye katilmis kurallar geregi) gerekli.

@SoruSahibi, eger yukaridaki kismi okursaniz istegimiz anlasilir. Bunlara ozen gostererek sitenin (ve dolayisiyla konusulan matematigin) kalitesini arttirabiliriz.

Saygilar...

Uyarın için teşekkür ederim Sercan. Dikkat ederim. 

içerik derken neyi kastediyorsun? cevabını öğrenmek istediğim, çözemediğim soruya ne tür içerik katmamı istersin? sosa bandırıp öyle mi sorayım?

İçerikten kasıt, senin problemin çözümüne dair yaptığın çalışmalar, denemeler vs. Sosa gerek yok...

...
@SoruSahibi, eger yukaridaki kismi okursaniz istegimiz anlasilir. Bunlara ozen gostererek sitenin (ve dolayisiyla konusulan matematigin) kalitesini arttirabiliriz.

Saygilar...
20,208 soru
21,732 cevap
73,299 yorum
1,902,825 kullanıcı