$x=1$ deki değeri $y=1$ olan monoton kesin azalan ve limiti $0$ olan bir en yavaş dizi var mıdır ?

Question

Yavaş demek şu demek;

$1/n^2$ , $1/n$'den daha hızlı $0$ a yakınsıyor.

Yani bu tarz öyle bir fonksiyon bulmalıyız ki tüm bu fonksiyonlardan daha yavaş $0$ a yakınsasın. Çürütmek için olmayana ergimeyi denedim,

öyle bir fonksiyon olsun o zaman  o fonksiyon ile 1 den küçük sabiti çarparım dedim ama $x=1,y=1$ şartı sağlanmıyor, $1/n^r$ iken $r$'nin sonsuza gitmesini düşündüm ama böyle bir fonksiyon ya $1/n^r$ cinsinden değilse dedim, dolayısıyla buraya sordum nasıl düşünmeli?

Comments

En yavastan kastin ne pek belli degil. Bir tanim verirsen daha manali olur.

$a_n$ istedigin dizi olsun. $b_n := a_n/2$ alirsak ... diyeceksin ki $b_1=1$  de olsun. Bu durumda $b_1=1$ ve $n>1$ icin $b_n=a_n/2$ olarak alalim.

---

İstediğin özelliklere sahip fonksiyon dizisi $f_n(x)$ olsun:

$f_{n+1}(x)<f_n(x)$

$f_n(1)=1$

$f_n(x)\rightarrow 0$

Bu fonksiyon bu özelliktekilerin en yavaşı olsun. Yavaş derken, yeterince büyük $n$ için $f_n<g_n$ oluyorsa $g_n$'nin daha yavaş olduğunu anlıyorum.

Şimdi, örneğin, $x\rightarrow x^{1/2}$ dönüşümünü alalım. Bu durumda, Yukarıdaki özellikler sağlanacaktır (en önemlisi $x=1$'deki değer!). 

Eğer $f_n(x)$ azalansa, $f_n(\sqrt x)$ de öyledir ve tanımı itibariyle daha yavaştır.

$x\rightarrow x^{1/k}, \, k\in \mathbb N\setminus\{1\}$ dönüşümleri $k$ arttıkça daha yavaş diziler doğuracaktır. Dolayısıyla en yavaş dizi yoktur.

---

@Sercan;

Bir kaç deneme yaptım ama sonuç çok kolay çıktı dolayısıyla tanımın üstünü kapadım biraz. Yönteminiz böyle bir en ufak fonksiyon olmadığını söylüyor ama meraktan soruyorum, sürekli ve $f(x)=\mathbb R^+\subseteq\mathbb R\to\mathbb R$ olarak tanımlı olsa desem? Teşekkürler.

@Yasin Şale;

Fonksiyon ailesi tarafında anlatılmak istenen haricini anladım, Teşekkürler.

---

@Anil, bu sordugun soruyu kendin de bulabilmen lazim. (ya da denemeni yazsan daha iyi olur) $f(x)$ verilsin $g(x)=f(2x-1)$ secebilirsin.

---

Bir fonksiyonun diğerinden daha hızlı sıfıra yakınsadığı söylendiğinde yanılmıyorsam küçük $o$ işaretinden bahsediliyor genelde. Yani, $f$ fonksiyonu $g$ fonksiyonundan daha hızlı yakınsıyor demek $$\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$$ demek.