Çarpım Uzayları, Kapanış ve İzdüşüm Fonksiyonlarına Dair

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar,  $\pi_1:X\times Y\to X, \pi_1(x,y)=x$ ve $\pi_2:X\times Y\to Y, \pi_2(x,y)=y$ olmak üzere

$$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow \overline{A\times B}\subseteq \pi_1\left [\overline{A\times B}\right]\times \pi_2\left [\overline{A\times B}\right]$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$\left.\begin{array}{ccc} (x,y)\in \overline{A\times B}\Rightarrow\pi_1(x,y)\in\pi_1\left[\overline{A\times B}\right]\Rightarrow x\in\pi_1\left[\overline{A\times B}\right] \\ (x,y)\in \overline{A\times B}\Rightarrow\pi_2(x,y)\in\pi_2\left[\overline{A\times B}\right]\Rightarrow y\in\pi_2\left[\overline{A\times B}\right] \end{array}\right\}\Rightarrow $$
$$\Rightarrow (x,y)\in\pi_1\left[\overline{A\times B}\right]\times \pi_2\left[\overline{A\times B}\right].$$