Aslinda istenen farkin integrali: P1(x)−P2(x)=P3(x)
olsun. Burada
P1 ustteki egri,
P2 alttaki egrinin ikinci dereceden denklem kisimlari ve
P3 de bunlarin farki.
Simdi bu
P3 de ikinci dereceden bir polinom olsun (olmak zorunda degil: bas kat sayilari esitse). Bu durumda
P3(x)=ax2+bx+c
formunda olacak. (
a<0 olmali, cunku alanin pozitif olabilmesi icin kollar asagi dogru olmali). Eger biz
P1 ve
P2'nin arasinda kalan bir alan bulmak istiyorsak
P1 ve
P2 iki noktada kesismeli. Bunlara
x0 ve
x1 diyelim.
Bu
x0 ve
x1 aslinda
P3 polinomunun kokleri. O zaman
P3(x)=a(x−x0)(x−x1)
olarak yazalim ve kucuk koku
x0 olarak dusunelim.
Bizden istenen tam olarak
∫x1x0(ax2+bx+c)dx=[a3x3+b2x2+cx]x=x1x=x0
degeri.
Bu fomule daha kolay ulasmak icin su esitligi kullanalim:
ax2+bx+c=a(x+b2a)2+(c−b24a)=a(x+b2a)2−b2−4ac4a
=a(x+b2a)2−Δ4a
olur.
−b/(2a) degerinin
x0 ile
x1 noktasinin ortasindaki nokta oldugunu hatirlayalim ve bu noktanin sag ve solundaki alanin esit olacagini...
Bu durumda
∫x1x0(ax2+bx+c)dx=2∫x1−b2a(ax2+bx+c)dx=2∫x1−b2a(a(x+b2a)2−Δ4a)dx
=2[a3(x+b2a)3−Δ4ax]x=x1x=−b/(2a)=2a3(x1+b2a)3−Δ2a(x1+b2a)
=2a3(x1+b2a)[(x1+b2a)2−3Δ4a2]
olur.
x1 bu ikinci dereceden denklemimizin buyuk olan koku oldugundan (yukaridaki esitlik ile) a(x1+b2a)2−Δ4a=0
olur, yani
x1+b2a=−√Δ2a
olur. (
a'nin negatif oldugunu hatirlayalim. Bu durumda
−'li olan daha buyuk olur).
Bu ifadeyi yukaridaki buldugumuz integral degeri icine yazarsak
2a3(x1+b2a)[(x1+b2a)2−3Δ4a2]=2a3⋅−√Δ2a[(−√Δ2a)2−3Δ4a2]=Δ√Δ6a2
olur.
Soru: Eger bas katsayilari esit olsaydi integral degeri ne olurdu?