Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
17.7k kez görüntülendi

y = x2 + 6x ile y= 2x2 + 4x - 8 parabolleri arasındaki kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?  

Çözüm

x2 +6x = 2x2 +4x- 8

x2 - 2x -8 = 0

Δ = 36

Alan = ΔΔ6a2

         = 36

Buraki alan formulunun ispatını bilen var mı??


Orta Öğretim Matematik kategorisinde (30 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 17.7k kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Aslinda istenen farkin integrali: P1(x)P2(x)=P3(x)

olsun. Burada P1 ustteki egri, P2 alttaki egrinin ikinci dereceden denklem kisimlari ve P3 de bunlarin farki.

Simdi bu P3 de ikinci dereceden bir polinom olsun (olmak zorunda degil: bas kat sayilari esitse). Bu durumda P3(x)=ax2+bx+c
formunda olacak. (a<0 olmali, cunku alanin pozitif olabilmesi icin kollar asagi dogru olmali). Eger biz P1 ve P2'nin arasinda kalan bir alan bulmak istiyorsak P1 ve P2 iki noktada kesismeli. Bunlara x0 ve x1 diyelim. 

Bu x0 ve x1 aslinda P3 polinomunun kokleri. O zaman P3(x)=a(xx0)(xx1)
olarak yazalim ve kucuk koku x0 olarak dusunelim. 

Bizden istenen tam olarak x1x0(ax2+bx+c)dx=[a3x3+b2x2+cx]x=x1x=x0
degeri.

Bu fomule daha kolay ulasmak icin su esitligi kullanalim: ax2+bx+c=a(x+b2a)2+(cb24a)=a(x+b2a)2b24ac4a
=a(x+b2a)2Δ4a
olur.


b/(2a) degerinin x0 ile x1 noktasinin ortasindaki nokta oldugunu hatirlayalim ve bu noktanin sag ve solundaki alanin esit olacagini...

Bu durumda x1x0(ax2+bx+c)dx=2x1b2a(ax2+bx+c)dx=2x1b2a(a(x+b2a)2Δ4a)dx
=2[a3(x+b2a)3Δ4ax]x=x1x=b/(2a)=2a3(x1+b2a)3Δ2a(x1+b2a)
=2a3(x1+b2a)[(x1+b2a)23Δ4a2]
olur. 


x1 bu ikinci dereceden denklemimizin buyuk olan koku oldugundan (yukaridaki esitlik ile) a(x1+b2a)2Δ4a=0

olur, yani x1+b2a=Δ2a
olur. (a'nin negatif oldugunu hatirlayalim. Bu durumda 'li olan daha buyuk olur).

Bu ifadeyi yukaridaki buldugumuz integral degeri icine yazarsak 2a3(x1+b2a)[(x1+b2a)23Δ4a2]=2a3Δ2a[(Δ2a)23Δ4a2]=ΔΔ6a2
olur.




Soru: Eger bas katsayilari esit olsaydi integral degeri ne olurdu?

(25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Cevabiniz icin tesekkur ederim.

Tam olarak emin degilim ama baskatsayilar esit oldugunda fonksiyonlar sadece bir noktada kesisir herhalde. Buda kapali bir bolge olmasini engeller.

Birde , mesela x3 egrisnin -1 ile 0 arasindaki integralini 14 olarak mi yoksa 14 olarak mi almaliyiz . Integrali 14 cikiyor ama bu alan kavramina aykiri degilmi. Benim bildigim alan pozitif deger alir??

Alan fonksiyonun degil mutlaginin integralidir. Bu nedenle usttekinden alttaki cikartilir. Pozitiflik icin.

Simdi sen 1 ile 0 arasinda y=0 ile y=x3  arasinda kalan integrali alacaksin. 

Burada |(0)(x3)|=|x3|=x3.

Anladım . Teşekkur ederim.

20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,864,850 kullanıcı