İki parabol arasındaki alan

Question

y = $x^2$ + 6x ile y= 2$x^2$ + 4x - 8 parabolleri arasındaki kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?  

Çözüm

$x^2$ +6x = 2$x^2$ +4x- 8

$x^2$ - 2x -8 = 0

$\Delta$ = 36

Alan = $\frac{\Delta\sqrt{\Delta}}{6a^2}$

         = 36

Buraki alan formulunun ispatını bilen var mı??

Answer 1

Aslinda istenen farkin integrali: $$P_1(x)-P_2(x)=P_3(x)$$ olsun. Burada $P_1$ ustteki egri, $P_2$ alttaki egrinin ikinci dereceden denklem kisimlari ve $P_3$ de bunlarin farki.

Simdi bu $P_3$ de ikinci dereceden bir polinom olsun (olmak zorunda degil: bas kat sayilari esitse). Bu durumda $$P_3(x)=ax^2+bx+c$$ formunda olacak. ($a<0$ olmali, cunku alanin pozitif olabilmesi icin kollar asagi dogru olmali). Eger biz $P_1$ ve $P_2$'nin arasinda kalan bir alan bulmak istiyorsak $P_1$ ve $P_2$ iki noktada kesismeli. Bunlara $x_0$ ve $x_1$ diyelim. 

Bu $x_0$ ve $x_1$ aslinda $P_3$ polinomunun kokleri. O zaman $$P_3(x)=a(x-x_0)(x-x_1)$$ olarak yazalim ve kucuk koku $x_0$ olarak dusunelim. 

Bizden istenen tam olarak $$\int_{x_0}^{x_1} (ax^2+bx+c)dx=\left[\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx\right]_{x=x_0}^{x=x_1}$$ degeri.

Bu fomule daha kolay ulasmak icin su esitligi kullanalim: $$ax^2+bx+c=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left( c-\frac{b^2}{4a}\right)=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$$ $$=a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$$ olur.


$-b/(2a)$ degerinin $x_0$ ile $x_1$ noktasinin ortasindaki nokta oldugunu hatirlayalim ve bu noktanin sag ve solundaki alanin esit olacagini...

Bu durumda $$\int_{x_0}^{x_1} (ax^2+bx+c)dx=2\int_{-\frac{b}{2a}}^{x_1} (ax^2+bx+c)dx=2\int_{-\frac{b}{2a}}^{x_1}\left(a\left( x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}\right)dx$$ $$=2\left[\frac{a}{3}\left(x+\frac{b}{2a}\right)^3-\frac{\Delta}{4a}x\right]_{x=-b/(2a)}^{x=x_1}=\frac{2a}{3}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)^3-\frac{\Delta}{2a}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)$$ $$=\frac{2a}{3}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)\left[\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{3\Delta}{4a^2}\right]$$ olur. 

$x_1$ bu ikinci dereceden denklemimizin buyuk olan koku oldugundan (yukaridaki esitlik ile) $$a\left( x_1+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}=0$$ olur, yani $$x_1+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$$ olur. ($a$'nin negatif oldugunu hatirlayalim. Bu durumda $-$'li olan daha buyuk olur).

Bu ifadeyi yukaridaki buldugumuz integral degeri icine yazarsak $$\frac{2a}{3}\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)\left[\left(x_1+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{3\Delta}{4a^2}\right]=\frac{2a}{3}\cdot \frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}\left[\left(\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2-\frac{3\Delta}{4a^2}\right]=\frac{\Delta\sqrt\Delta}{6a^2}$$ olur.




Soru: Eger bas katsayilari esit olsaydi integral degeri ne olurdu?

Comments

Cevabiniz icin tesekkur ederim.

Tam olarak emin degilim ama baskatsayilar esit oldugunda fonksiyonlar sadece bir noktada kesisir herhalde. Buda kapali bir bolge olmasini engeller.

Birde , mesela $x^3$ egrisnin -1 ile 0 arasindaki integralini $\frac{-1}{4}$ olarak mi yoksa $\frac{1}{4}$ olarak mi almaliyiz . Integrali $\frac{-1}{4}$ cikiyor ama bu alan kavramina aykiri degilmi. Benim bildigim alan pozitif deger alir??

---

Alan fonksiyonun degil mutlaginin integralidir. Bu nedenle usttekinden alttaki cikartilir. Pozitiflik icin.

Simdi sen $-1$ ile $0$ arasinda $y=0$ ile $y=x^3$  arasinda kalan integrali alacaksin. 

Burada $|(0)-(x^3)|=|x^3|=-x^3$.

---

Anladım . Teşekkur ederim.