Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
16.1k kez görüntülendi

Köklerinin tam sayı olabilmesi için a' nın kaç farklı değeri ve bu değerlerin toplamı kaçtir?


.......

∆≥0 dedim ama bu rasyonellikte geçerli ve farklı olup olmadığını da bilmiyorum. Nasıl düşünmeliyim?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (46 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 16.1k kez görüntülendi

$a={0,12}$ olur.

burda $\Delta =0$'ı incelemeliyiz diye düşündüm.

Hocam a herhangi bir reel sayi nasil 0,12 dedik?

Köklerin tamsayı olduğunu biliyorsan, bu köklerin toplamı ve çarpımının da tamsayı ve olduğunu biliyorsun demektir. Belki bu yardımcı olur.

O halde -a ve 3a bir tam sayi, burdan da sadece a'nin  tam sayı oldugu kanısına varırız. Ama sonrasinda ne yapabiliriz ki?

a=16 içinde çıkıyormuş :)..ama genelleme yapamadım .

Sorunun anlaşılırlığını kolaylaştırmak için biraz düzenledim. Soru sahibinin affına sığınıyorum.

Est. Hocam tam soylemek istedigim gibi yazmissiniz.

a= 0 değerinide alırmı acaba? $x^{2}$=0 sekinde olabilir mi?


Olur bence , çift katlı kök olsa da x=0 sonuçta tam sayı, ama kac a reel sayısı vardır sorusunda bir kere sayacaz.

ben  0 12 16 buldum.daha ilerlerde varsada sağlık olsun :)

Dogru mu bilmiyorum ama ben soyle dusundum:
Kokleri tam sayi ise kokler toplami ve carpimindan a da bir tam sayidir. Ozaman deltaninda tam sayi olmasi lazim delta = $a^2$ - 12a = k olsun (burada k bir tam sayi yani degismiyor) o halde iki tane a vardir ve toplami da koklerin toplam formulunden 12 olur

Soruda kökler tam sayıdır demiyor, köklerin tam sayı olmasını sağlayan $a$ değerleri toplamı isteniyor. Dolayısıyla bu yaklaşım sorgulanmalıdır.

a=-$\frac{x^{2}}{x+3}$ bu sekilde denedigimde

a=-4 buldum. buradan gidilebilir mi?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

a=-$\frac{x^{2}}{x+3}$

Polinom bölesi yaptığımda

-($X-3+\frac{9}{x+3}$) seknde oluyor buradan 9 un tam bölenlri 6  tanedir

9,1,3,-9,-1,-3  dür 

Bunları bulmak icin x e deger verigimde

a degerleri (-4,0,16,12) alır 4 tanedir ve toplamı 24 dür

(99 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$b$ ve $c$ sayilari $x^2+ ax +3a =0$ denkleminin kokleri olsunlar. Bu durumda $$x^2+ ax +3a = (x-b)(x-c)$$ yazabiliriz. Bu denklemin sag tarafini acarsak (kokler toplamini ve carpimini bulmak icin) su iki denklemi elde ediyoruz:

$$b+c = -a \\ bc = 3a$$

Ilk denklemi $3$ ile carparsak $3(b+c) = -3a$ elde ediyoruz. Buradan sonra iki denklemi taraf taraf toplarsak $$bc + 3(b+c) = 0$$ olur. Simdi iki tarafa da $9$ ekleyelim ve $3$'u dagitalim:

$$bc + 3b+ 3c + 9 = 9$$

Sol tarafi duzenlersek $$(b+3)(c+3) = 9$$

denklemini buluyoruz. Soruda koklerin, yani $b$ ve $c$'nin tamsayi olmalarini saglayan $a$ degerini sorduguna gore $b$ ve $c$'yi tamsayi kabul edebiliriz. Dolayisiyla $b+3$ ve $c+3$ de tam sayi olur. Demek ki $9$'un tamsayi bolenlerini bulsak yeterli. Asagida sirali tam liste ($b \geq c$ kabuluyle):

  1. $b+3 = 9, c+3 = 1 \implies b = 6, c= -2 \implies a = -4$
  2. $b+3 = 3, c+ 3 =3 \implies b= 0, c=  \implies a= 0 $
  3. $b+3 = -1, c+ 3 = -9 \implies b= -4, c= -12 \implies a = 16$
  4. $b+3 = -3, c+ 3= -3 \implies b = -6, c= -6 \implies a = 12$

(2.5k puan) tarafından 

Ek olarak: Eger $b \neq 0, c\neq 0$ kabulunu yaparsak, en basta yazdigimiz iki denklem bize $$\frac{b+c}{bc} = -\frac{1}{3}$$ denklemini veriyor. Eger sol tarafi ayirip yazarsak $$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = -\frac{1}{3}$$ elde etmis oluyoruz. Sag taraftaki eksi isaretini bir an icin unutursak elimizde $$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{3}$$ denklemi var (unuttugumuz eksi isaretini en son $b$ ve $c$'nin basina koyabiliriz istersek, ama isimiz onunla degil.) Diyelim ki bu son denklemin sadece pozitif cozumlerini istiyoruz. Yukaridaki liste bize, $b= 4, c=12$ ve $b=6, c=6$ ciftlerini sunuyor. Bu iki cozum de bize hiperbolik duzlemin bir dosemesini veriyor (bkz: su sorudaki sekizinci altsoru). Bu dosemelerden hangisidir bilemiyorum ama su an. Ama hiperbolik duzlemin dosemeleri cok guzel bilgisayar duvarkagidi olarak kullanilabilir soyle bir googleda ararsaniz. 

20,248 soru
21,774 cevap
73,422 yorum
2,151,420 kullanıcı