$x^2+ax+3a=0$ denkleminde

Question

Köklerinin tam sayı olabilmesi için a' nın kaç farklı değeri ve bu değerlerin toplamı kaçtir?

.......

∆≥0 dedim ama bu rasyonellikte geçerli ve farklı olup olmadığını da bilmiyorum. Nasıl düşünmeliyim?

Comments

$a={0,12}$ olur.

burda $\Delta =0$'ı incelemeliyiz diye düşündüm.

---

Hocam a herhangi bir reel sayi nasil 0,12 dedik?

---

Köklerin tamsayı olduğunu biliyorsan, bu köklerin toplamı ve çarpımının da tamsayı ve olduğunu biliyorsun demektir. Belki bu yardımcı olur.

---

O halde -a ve 3a bir tam sayi, burdan da sadece a'nin  tam sayı oldugu kanısına varırız. Ama sonrasinda ne yapabiliriz ki?

---

a=16 içinde çıkıyormuş :)..ama genelleme yapamadım .

---

Sorunun anlaşılırlığını kolaylaştırmak için biraz düzenledim. Soru sahibinin affına sığınıyorum.

---

Est. Hocam tam soylemek istedigim gibi yazmissiniz.

---

a= 0 değerinide alırmı acaba? $x^{2}$=0 sekinde olabilir mi?

---

Olur bence , çift katlı kök olsa da x=0 sonuçta tam sayı, ama kac a reel sayısı vardır sorusunda bir kere sayacaz.

---

ben  0 12 16 buldum.daha ilerlerde varsada sağlık olsun :)

---

Dogru mu bilmiyorum ama ben soyle dusundum:

Kokleri tam sayi ise kokler toplami ve carpimindan a da bir tam sayidir. Ozaman deltaninda tam sayi olmasi lazim delta = $a^2$ - 12a = k olsun (burada k bir tam sayi yani degismiyor) o halde iki tane a vardir ve toplami da koklerin toplam formulunden 12 olur

---

Soruda kökler tam sayıdır demiyor, köklerin tam sayı olmasını sağlayan $a$ değerleri toplamı isteniyor. Dolayısıyla bu yaklaşım sorgulanmalıdır.

---

a=-$\frac{x^{2}}{x+3}$ bu sekilde denedigimde

a=-4 buldum. buradan gidilebilir mi?

Answer 1

a=-$\frac{x^{2}}{x+3}$

Polinom bölesi yaptığımda

-($X-3+\frac{9}{x+3}$) seknde oluyor buradan 9 un tam bölenlri 6  tanedir

9,1,3,-9,-1,-3  dür 

Bunları bulmak icin x e deger verigimde

a degerleri (-4,0,16,12) alır 4 tanedir ve toplamı 24 dür

Answer 2

$b$ ve $c$ sayilari $x^2+ ax +3a =0$ denkleminin kokleri olsunlar. Bu durumda

$$x^2+ ax +3a = (x-b)(x-c)$$ yazabiliriz. Bu denklemin sag tarafini acarsak (kokler toplamini ve carpimini bulmak icin) su iki denklemi elde ediyoruz:

$$b+c = -a \\ bc = 3a$$

Ilk denklemi $3$ ile carparsak $3(b+c) = -3a$ elde ediyoruz. Buradan sonra iki denklemi taraf taraf toplarsak

$$bc + 3(b+c) = 0$$ olur. Simdi iki tarafa da $9$ ekleyelim ve $3$'u dagitalim:

$$bc + 3b+ 3c + 9 = 9$$

Sol tarafi duzenlersek

$$(b+3)(c+3) = 9$$

denklemini buluyoruz. Soruda koklerin, yani $b$ ve $c$'nin tamsayi olmalarini saglayan $a$ degerini sorduguna gore $b$ ve $c$'yi tamsayi kabul edebiliriz. Dolayisiyla $b+3$ ve $c+3$ de tam sayi olur. Demek ki $9$'un tamsayi bolenlerini bulsak yeterli. Asagida sirali tam liste ($b \geq c$ kabuluyle):

1. $b+3 = 9, c+3 = 1 \implies b = 6, c= -2 \implies a = -4$
   
2. $b+3 = 3, c+ 3 =3 \implies b= 0, c=  \implies a= 0$
3. $b+3 = -1, c+ 3 = -9 \implies b= -4, c= -12 \implies a = 16$
4. $b+3 = -3, c+ 3= -3 \implies b = -6, c= -6 \implies a = 12$

Comments

Ek olarak: Eger $b \neq 0, c\neq 0$ kabulunu yaparsak, en basta yazdigimiz iki denklem bize

$$\frac{b+c}{bc} = -\frac{1}{3}$$ denklemini veriyor. Eger sol tarafi ayirip yazarsak $$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = -\frac{1}{3}$$ elde etmis oluyoruz. Sag taraftaki eksi isaretini bir an icin unutursak elimizde $$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{3}$$ denklemi var (unuttugumuz eksi isaretini en son $b$ ve $c$'nin basina koyabiliriz istersek, ama isimiz onunla degil.) Diyelim ki bu son denklemin sadece pozitif cozumlerini istiyoruz. Yukaridaki liste bize, $b= 4, c=12$ ve $b=6, c=6$ ciftlerini sunuyor. Bu iki cozum de bize hiperbolik duzlemin bir dosemesini veriyor (bkz: su sorudaki sekizinci altsoru). Bu dosemelerden hangisidir bilemiyorum ama su an. Ama hiperbolik duzlemin dosemeleri cok guzel bilgisayar duvarkagidi olarak kullanilabilir soyle bir googleda ararsaniz.