$\mathbb F_{2^k}$ uzerince $x^2+ax+b$ polinomu

Question

ikinci derecen $x^2+bx+a= 0$, $a \in \mathbb F_{2^k}$  ve $b \in \mathbb F_{2^k}^\times$ esitliginin $\mathbb F_{2^k}$ icerisinde iki farkli koku vardir ancak ve ancak $Tr_{\mathbb F_{2^k}/\mathbb F_2}(a/b^2)= 0$.

Answer 1

$b \ne 0$ oldugundan deklemi $(x/b)^2+(x/b)+(a/b^2)=0$ olarak yazabiliriz.

 $x \in \mathbb F_{2^k} \iff x/b \in \mathbb F_{2^k} \iff Tr_{\mathbb F_{2^k}/\mathbb F_2}(a/b^2)=0$. 

Son ancak ve ancak icin cok bilindik teoremi yine de hatirlatayim: $Tr_{\mathbb F_q/\mathbb F_p}(x)=0$ ancak ve ancak $x=y^q-y$ olacak sekilde bir $y \in \mathbb F_q$ icin yazilabilir. Referans olarak: Lidl, Finite Fields kitabinda Trace ilgili bolume bakabilir, ispati da mevcut ve kolay.