Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
3.7k kez görüntülendi
$z=f(x,y)$ denklemi uzayda bir E yüzeyini temsil etsin.

Bu yüzey üzerinde de bir $P(a,b,c)$ noktası alalım.

Bu noktadaki kısmi türevin geometrik anlamı nedir?

O noktadan geçen teğet düzlemine dik olan vektör müdür?

Sebebini ayrıntılı bir şekilde açıklayabilir misiniz?
Lisans Matematik kategorisinde (935 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.7k kez görüntülendi

Ne olmadığını hemen söyleyebilirim: Teğet düzlemine dik olan vektör! Tanımı îtibâriyle bu dediğiniz, "normal" vektördür. Normal vektör yüzey denkleminin $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0$ gradyenidir: $\nabla F(x,y,z)$

Yasin Hocam,öncelikle ilginiz için teşekkür ederim.

Bu bahsettiğiniz gradyen vektörüde normal vektörlerinden birisi olmaz mı?

Ayrıca kısmi türevlerini alıp o noktayı yerine koyduğumuzda bulduğumuz vektöre "gradyen vektörü" mü denilmekte?

Aşağıdaki cevâba verdiğiniz yanıt, işte o normal vektördür. Yüzey "düzgünse" her noktasına bir ve tek normal vektörü tekâbül eder. "Gradyen vektörü" gibi bir tâbir yok bildiğim kadarıyla. Fakat, denklemi verilen bir yüzeyin normali, yüzey denkleminin gradyenidir, diyoruz. 

Yasin Hocam sanırım birbirimizin söylediği şeyleri farklı ifade ediyoruz.

Öncelikle kafamı karıştıran ilk yorumunuz: "Ne olmadığını hemen söyleyebilirim: Teğet düzlemine dik olan vektör!" 

Teğet düzlemine o noktada dik olan vektör zaten normal vektörü değil midir?

Ben bunu geometrik olarak anlayabiliyorum.

Sormaya çalıştığım şey kısmi türevle yapılan cebirsel işlemlerin neden buna karşılık geldiği?

Ayrıca gradyen denilen şeyin geometrik anlamı nedir?

Ben yukarıda "kısmî türev" denirken tam anlamıyla onu anladım; "gradyeni" değil. Acaba bu açıdan bir anlaşmazlık olmuş olabilir mi? Çünkü Barış Akalın'a aşağıda verilen cevapta bu sefer soru gradyene dönmüş.


Yasin Hocam tekrar teşekkür ederim. Teğet düzlemine dik olan vektör gradient vektörü o da teğet düzleminin normali oluyor. Aynı şey yani. 

Kısmi türevin anlamını biliyorum. Sormaya çalıştığım o değil, bunlar arasındaki ilişkinin geometrik anlamı ve sebebi.

4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tamamen sezgisel, geometrik bir açıklama yapmak istersek, örneğin x'e göre kısmi türev için, xz düzlemine paralel ve verili P noktasından geçen düzlemle yüzeyin keşisiminden oluşan eğrinin P noktasındaki teğet doğrusunun eğimi diyebiliriz... Yani şunu arıyoruz (gene sezgisel olarak): y sabit tutulduğunda bu fonksiyon x'e göre nasıl değişmektedir? y'ye göre kısmi türev de aynı şekilde yorumlanır. Bir de yönlü türev var...

(35 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Barış Hocam, öncelikle ilgilendiğiniz için teşekkür ederim, sorumu şöyle sorayım:

"Fonksiyonun x'e,y'ye ve z'ye göre kısmi türevleri alınıp, P noktasındaki değerleri bulunduğunda oluşan $u=(f_x,f_y,f_z)$ vektörünün geometrik anlamı nedir?"

(935 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

................


(935 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

f=(x,y)'nin bir P noktasındaki bir yönlü türevi bulmak istersek, yani belirli bir u = ai + bj birim vektörüne paralel ve P noktasından geçen düzlem ile yüzeyin kesişiminden oluşan eğrinin P noktasındaki teğetinin eğimini, hesaplamalarımız bizi şu sonuca götürür (ispata bakınız)


Du(x,y) = fx(x,y)a + fy(x,y)b

Burada bir iç çarpım var sanki... Yani gardient vektörü fx(x,y)i + fy(x,y)j ile u vektörünün iç çarpımı.

Gradient, xy düzleminden vectör uzayına bir fonksiyondur yani belirli bir noktadaki gradient vektörü nedir sorusuna cevap veren fonksiyon. (x,y) noktasını alır  fx(x,y)i + fy(x,y)j vektörüne götürür.

İki bileşenli gradient vektörü bize şunu söyler... sezgisel bir örnek verirsek, yüzeyimizde yürüyen bir dağcı hangi yolla yukarı çıktığında yüksekliğin değişme hızı en fazla olur? cevap: gradient vectör yönünde (ispata bakınız)

Eğer fonksiyonumuzu F(x,y,z) = u şeklinde düşünürsek bunun da bir gradient vectörü vardır ve üç bileşenlidir. Bunun temel yorumu, üç bileşenli gradient vektörü bize 4 boyutlu bir uzayda u'nun en hızlı değiştiği yönü göstermesidir. Bunu gözünüzde canlandırmak mümkün değil çünkü 3 boyutlu canlılarız :)

Fakat bir önmeli durum daha söz konusu... Eğer üç değişkenli fonksiyonumuzun düzey yüzeyi alınırsa, mesela F(x,y,z,) = k, gösterilebilir ki, gradient vektörü bu yüzeyin belirli bir P noktasında teğet düzleme normaldir. 

Ayrıca diyelim elimizde f(x,y) = z var, bu durumda f(x,y) - z = 0 bir düzey yüzeyi olarak görülebilir ki, bu durumda normal bildiğimiz gibi,  fx(x,y)i + fy(x,y)j - k yani gradient vektör olur. z değişkenine göre z'nin türevinin -1 olduğuna dikkat ediniz.





(35 puan) tarafından 

Barış Hocam ilgilendiğiniz için tekrar teşekkür ederim.

Gradient vektörünün fiziksel anlamını kavradım.

"İki bileşenli gradient vektörü bize şunu söyler... sezgisel bir örnek verirsek, yüzeyimizde yürüyen bir dağcı hangi yolla yukarı çıktığında yüksekliğin değişme hızı en fazla olur? cevap: gradient vectör yönünde (ispata bakınız)"

Bu durumun neden maksimum olduğunu anlayabiliyorum. Çünkü iç çarpımın maksimum olması için vektörlerin aynı yönlü olması gerekir. Yani yönlü türevi maksimum yapan değer gradient vektörüyle aynı yönlü olmasıdır.

Buradan sonuç olarak bir noktadaki teğet düzlemine dik olan vektörün neden gradinet vektörü olduğunu anlamak sezgisel olarak kolaylaşıyor fakat matematiksel olarak o vektörün neden dik olduğunu hala kavramış değilim. 

Zaten cevabımda 2 kere ispata bakınız ve bir kere "gösterilebilir ki" demiştim. Latex'e tam hakim değilim; o nedenle ispatları ayrıntılı yazmam mümkün değil şu an için fakat, 

3 boyutlu uzayda bir f(x,y)=z yüzeyinin bir P noktasındaki teğet düzlemi, birinci cevapta söylediğimiz iki doğruyu (x'e ve y'ye göre türev alırken bulduğumuz doğrular) içeren düzlem olarak tanımlanır. Bu düzlemin normali de o doğrular yönündeki vektörlerin çapraz çarpımı ile bulunur. Yani en azından biliyoruz ki, normal vektörü bizim iki vektörümüze dik. 

Biz eğer gradient vektörün de bunlara dik olduğunu gösterebilirsek normalle aynı yönde olduğunu ispatlamış oluruz.

Gradient vektör bunlara dik olmakla kalmaz yüzey üzerinde olan ve P noktasından geçen bütün eğrilerin teğetlerine diktir.

İspatın özeti:

f(x,y) = z denkleminde, yüzey üzerinde bulunduğunu varsaydığımız t'ye bağlı parametrik olan herhangi bir eğrinin parametrik karşılıkları yerine konulur. t'ye göre türev alınır ve görülür ki gradient vektörle eğrinin türevinin iç çarpımı sıfır. Yani diklermiş :)... Yani gradient vektör teğet düzleme normalmiş... 

Teşekkür ederim hocam, saygılar...

19,696 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
221,212 kullanıcı