Türevin tanımı ve geometrik anlamı

Question

 Burada yapmak istediğim türev tanımını ve geometrik anlamını yazıp siteye eklemek olacaktır bilenler adına ek bir bilgi olmayacaktır bir soru değildir.

 $f(x)$, $f$ fonksiyonun bir kuralı olsun ve verilen bir aralıkta olsun. Buna göre $x$'in verilen aralıkta her bir değerine karşılık olarak $y=f(x)$ fonksiyonunun değeri vardır.

 Şimdi ise şöyle bir işlem yapalım; $x$'e artı olarak istediğimiz bir değer verelim ve buna $\Delta x$ diyelim buna göre yukarıdaki tanımdan $x$'de bir değer verip fonksiyonda bir değere ulaşıyorsak aynı şekilde $\Delta x$'de de başka bir fonksiyon değerine ulaşırız buna da $\Delta y$'de bir artım deriz.

 Buna göre biz biliyoruz ki $y=f(x)$'di buradan da $=$

$y+\Delta y$=$f(x+\Delta x)$,

 Burada $\Delta y$'yi yalnız bırakalım $=$

$\Delta y$=$f(x+\Delta x)$-$y$ ve biz biliyoruz $y=f(x)$'di.

$\Delta y$=$f(x+\Delta x)$-$f(x)$ olur her iki tarafı da $\Delta x$'e orantılarız $=$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, ve bu oranın $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ halindeki limitine bakılır.

İfade ederken de $=$

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ $=$ $y'$ $=$ $\dfrac{dy}{dx}$ denebilir bunun çözüm açısından hiçbir farkı yoktur.

 Sonuç olarak türeve bir $x$ noktasında eğim bulma işlemine denir. Geometrik olarak da $=$

 Bu tarz bir gösterim mevcuttur buradan eğim $tan(\beta)$ $=$ $\dfrac{dy}{dx}$, bir kaç polinom ifadede türev alalım $f(x)=x^3$ diyebiliriz buradan kolayca $f'(x)=3x^2$ deriz bunu bir de $f(x)$'i tanıma koyarak bulalım $=$

$y+\Delta y$ $=$ $(x+\Delta x)^3$, 

$\Delta y$ $=$ $(x+\Delta x)^3$ $-$ $x^3$ deriz

$\Delta y$ $=$ $(x^3+3x^2.\Delta x+3x.\Delta x^2+\Delta x^3)-(x^3)$

$\Delta y$ $=$ $(3x^2.\Delta x+3x.\Delta x^2+\Delta x^3)$

Dediğimiz gibi $\Delta x$'e orantılayalım $=$

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ $=$ $3x^2+3x.\Delta x+\Delta x^2$

$y'$ $=$ $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $3x^2+3x.\Delta x+\Delta x^2$

$=$ $3x^2$

Comments

Önce bir düzeltme yapmak isterim. $f(x)$ bir fonksiyon değil $f$ fonksiyonunun kuralıdır. İkincisi fonksiyonun tanım kümesi illa ki bir aralık olmak zorunda mıdır? Buradaki açıklamalara bir göz atmanız faydalı olacaktır.

---

Hocam dediğiniz düzeltmeyi yaptım, fakat bir sorum var çalıştığım kitapta gördüm ve attığınız linkte de olduğu gibi; bir aralık veriliyorsa gibi başlangıçlar vardı tanımı için. Sorum şu bir tanım aralığı olmazsa ona tanımsız demez miyiz ?

---

Boyle bir seye neden gerek duydunuz? Bunlar gayet iyi bilinen ve ulasilabilen turden bilgiler.

---

Hocam onu da şöyle açıklıyorum; hani bazı sitelerde görüyoruz ya böyle geometrik, tanım ve örnek olarak ben de bu siteye yönelim olsun diye yazdım fakat kaldıra da bilirim fark etmez tabii.

---

Bir öneride bulunabilir miyim? Bu şekilde konuyu baştan sonra açıklamak yerine (bu arada +1:)), bu açıklamaları cevap olarak verebileceğimiz sorular sorabilirsiniz, yani mesela $f(x)=x^n$ turevinin $f'(x)=nx^{n-1}$ olduğunu türevin tanımından faydalanarak ve geometrik anlamını açıklayarak gösteriniz. Böyle olunca mesela iki gün verirsiniz cevaplanması için (örnek) sonra siz cevaplarsiniz ve başkaları da bilgilerini paylaşır 3-4 cevap bir anda, güzel olur bence:)

---

Evet çok iyi olur bu sıralarda böyle bir şey yapabilirim, teşekkür ederim güzel önerin için :)

---

:)