Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımı tam olarak nasıl yapılır?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
652 kez görüntülendi

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevinin tanımı tam olarak nasıl yapılır? Bazı kitaplar fonksiyonun tanım kümesini bir açık aralık olarak alıyor. Bazı kitaplar "fonksiyonun tanım kümesinin bir açık aralık olması şart değil, tanım kümesi aralık olsun yeter" diye tanıma başlıyor. Bazıları fonksiyonun ilgili noktanın en az bir açık komşuluğunda tanımlı olsun diye başlıyor tanıma. Bu tanımların hepsi bana eksikmiş gibi geliyor. Mesela $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}, f(x)=\frac1x$ fonksiyonunun tanım kümesi bir aralık değil ama yüksek mertebeden türevden bahsedilirken bu fonksiyonun $n.$ mertebeden türevi şudur deniyor. Türevin tam tanımını verebilir misiniz?

17, Ekim, 2017 Lisans Matematik kategorisinde Laedri (190 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli fonksiyonlar için en genel anlamda türev tanımı şöyledir. 

Tanım: $A\subseteq \mathbb{R}, \ f\in \mathbb{R}^A \ \text{ ve } \ x_0\in A\cap D(A)$ olmak üzere $$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ limiti (bir gerçel sayı olarak) mevcutsa bu limit değerine $f$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki türevi denir ve bu limit değeri $f'(x_0)$ ile gösterilir. Burada $D(A)$ ile $A$ kümesinin tüm yığılma noktalarının oluşturduğu kümeyi gösteriyoruz. Yani $$D(A):=\{x|(\forall \epsilon>0)[((x-\epsilon,x+\epsilon)\setminus\{x\})\cap A\neq \emptyset]\}.$$

Not: Ancak şunu da hemen belirteyim. Kavramın önemi, fonksiyonun tanım kümesi aralık olduğunda ortaya çıkıyor.

1) Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$(\mathbb{R}\setminus\{0\})\cap D(\mathbb{R}\setminus\{0\})=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$ olduğundan tanım kümesindeki her noktada türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz. Belirli bir noktada fonksiyonun türevi vardır ya da yoktur diyebilmemiz için öncelikle o noktanın hem fonksiyonun tanım kümesinde hem de fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerektiği hususuna dikkatinizi çekerim.

2) Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Q}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$(\mathbb{Q}\setminus\{0\})\cap D(\mathbb{Q}\setminus\{0\})=(\mathbb{Q}\setminus\{0\})\cap\mathbb{R}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$$ olduğundan yine tanım kümesindeki her noktada (yani sıfır hariç her rasyonel sayıda) türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz.

3)  Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\cup \{2\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$((0,1)\cup\{2\})\cap D((0,1)\cup\{2\})=((0,1)\cup\{2\})\cap[0,1]=(0,1)$$ olduğundan tanım kümesindeki $2$ noktası hariç tanım kümesindeki her noktada türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz.

4)  Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$\mathbb{N}\cap D(\mathbb{N})=\mathbb{N}\cap \emptyset=\emptyset$$ olduğundan tanım kümesindeki hiçbir noktada türevin mevcut olup olmamasından bahsedemeyiz. Dikkatinizi çekmek isterim. Bakın vardır ya da yoktur demiyoruz. Bu fonksiyon için hiçbir noktada türev mevzu bahis edilmez diyoruz.

5)  Bu tanıma göre artık $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup\{0\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$\left(\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup\{0\} \right)\cap D\left(\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup \{0\}\right)$$$$=$$$$\left(\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup\{0\} \right)\cap \{0\}$$$$=$$$$\{0\}$$ olduğundan tanım kümesindeki sadece $0$ noktasında türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz.

NOT : Türevin mevcut olup olmamasından bahsedebilmek için fonksiyonun kuralının bir önemi olmadığını gözlemleyiniz.

18, Ekim, 2017 murad.ozkoc (8,849 puan) tarafından  cevaplandı
15, Mart, 15 murad.ozkoc tarafından düzenlendi
...