Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
569 kez görüntülendi
f(x)={0,x0 isee1x,  x>0 isefonksiyonunun her yerde sonsuz kez türevlenebildiğini gösteriniz. (ipucu: Tümevarım, işinize yarayabilir)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 569 kez görüntülendi

Bu soru daha sonra soracağım bir yarışma sorusuna hazırlık olarak sorulmuştur.

(Ama o soruyu çözme için bunu bilmek zorunlu değil)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her nN için

f(n)(x)={Rn(x)e1x x>0 ise0,x0 ise olacak şekilde Rn(x) rasyonel fonksiyonlarının varlığını tümevarım ile göstereceğiz.

n=0 için iddiamız, zaten doğru.

Bir nN (ve bir Rn(x) rasyonel fonksiyonu) için, f(n)(x)={Rn(x)e1x x>0 ise0,x0 ise 

Her x>0 için f(n+1)(x)=(Rn(x)+1x2Rn(x))e1x olduğu ve Rn(x)+1x2Rn(x) nin bir rasyonel fonksiyon olduğu zor değil.

Ayrıca, her x<0 için f(n+1)(x)=0 olduğu da kolay.

Sadece f(n+1)(0)=0 olduğunu göstermek kaldı.

(Soldan türev) f(n+1)(0)=0 olduğu da aşikar.

(Sağdan türev) f(n+1)(0+)=0 olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

f(n+1)(0+)=limx0+Rn(x)e1xx=limt+tRn(1t)et  olur.

tRn(1t)=P(t)Q(t) (ikisi de (n ye bağlı) polinom ve Q(t) sabit 0 değil) olsun.

Her k0 doğal sayısı için (k>0 için L'Hospital in Kuralı ile) , limt+tket=0 olduğundan,

limt+P(t)et=0 olur. limt+1Q(t) ( Q(t) sabit ise 0 dan farklı bir sayı, değilse 0) bir sayı olduğu için

f(n+1)(0+)=limt+tRn(1t)et=0 olur.

Tümevarım İlkesinden, iddiamız ispatlanmış olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,961 kullanıcı