Her n∈N için
f(n)(x)={Rn(x)e−1x x>0 ise0,x≤0 ise olacak şekilde Rn(x) rasyonel fonksiyonlarının varlığını tümevarım ile göstereceğiz.
n=0 için iddiamız, zaten doğru.
Bir n∈N (ve bir Rn(x) rasyonel fonksiyonu) için, f(n)(x)={Rn(x)e−1x x>0 ise0,x≤0 ise
Her x>0 için f(n+1)(x)=(R′n(x)+1x2Rn(x))e−1x olduğu ve R′n(x)+1x2Rn(x) nin bir rasyonel fonksiyon olduğu zor değil.
Ayrıca, her x<0 için f(n+1)(x)=0 olduğu da kolay.
Sadece f(n+1)(0)=0 olduğunu göstermek kaldı.
(Soldan türev) f(n+1)(0−)=0 olduğu da aşikar.
(Sağdan türev) f(n+1)(0+)=0 olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
f(n+1)(0+)=limx→0+Rn(x)e−1xx=limt→+∞tRn(1t)et olur.
tRn(1t)=P(t)Q(t) (ikisi de (n ye bağlı) polinom ve Q(t) sabit 0 değil) olsun.
Her k≥0 doğal sayısı için (k>0 için L'Hospital in Kuralı ile) , limt→+∞tket=0 olduğundan,
limt→+∞P(t)et=0 olur. limt→+∞1Q(t) ( Q(t) sabit ise 0 dan farklı bir sayı, değilse 0) bir sayı olduğu için
f(n+1)(0+)=limt→+∞tRn(1t)et=0 olur.
Tümevarım İlkesinden, iddiamız ispatlanmış olur.