Processing math: 50%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
565 kez görüntülendi
f(x)={0,x0 isee1x,  x>0 isefonksiyonunun her yerde sonsuz kez türevlenebildiğini gösteriniz. (ipucu: Tümevarım, işinize yarayabilir)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 565 kez görüntülendi

Bu soru daha sonra soracağım bir yarışma sorusuna hazırlık olarak sorulmuştur.

(Ama o soruyu çözme için bunu bilmek zorunlu değil)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her nN için

f(n)(x)={Rn(x)e1x x>0 ise0,x0 ise olacak şekilde Rn(x) rasyonel fonksiyonlarının varlığını tümevarım ile göstereceğiz.

n=0 için iddiamız, zaten doğru.

Bir nN (ve bir Rn(x) rasyonel fonksiyonu) için, f(n)(x)={Rn(x)e1x x>0 ise0,x0 ise 

Her x>0 için f(n+1)(x)=(Rn(x)+1x2Rn(x))e1x olduğu ve Rn(x)+1x2Rn(x) nin bir rasyonel fonksiyon olduğu zor değil.

Ayrıca, her x<0 için f(n+1)(x)=0 olduğu da kolay.

Sadece f(n+1)(0)=0 olduğunu göstermek kaldı.

(Soldan türev) f(n+1)(0)=0 olduğu da aşikar.

(Sağdan türev) f(n+1)(0+)=0 olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

f(n+1)(0+)=lim  olur.

tR_n(\frac1t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)} (ikisi de (n ye bağlı) polinom ve Q(t) sabit 0 değil) olsun.

Her k\geq0 doğal sayısı için (k>0 için L'Hospital in Kuralı ile) , \lim_{t\to+\infty}\frac{t^k}{e^t}=0 olduğundan,

\lim_{t\to+\infty}\dfrac{P(t)}{e^t}=0 olur. \lim_{t\to+\infty}\dfrac1{Q(t)} ( Q(t) sabit ise 0 dan farklı bir sayı, değilse 0) bir sayı olduğu için

f^{(n+1)}(0+)=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{tR_n(\frac1t)}{e^t}=0 olur.

Tümevarım İlkesinden, iddiamız ispatlanmış olur.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,867 kullanıcı