Her n∈N için
f(n)(x)={Rn(x)e−1x x>0 ise0,x≤0 ise olacak şekilde Rn(x) rasyonel fonksiyonlarının varlığını tümevarım ile göstereceğiz.
n=0 için iddiamız, zaten doğru.
Bir n∈N (ve bir Rn(x) rasyonel fonksiyonu) için, f(n)(x)={Rn(x)e−1x x>0 ise0,x≤0 ise
Her x>0 için f(n+1)(x)=(R′n(x)+1x2Rn(x))e−1x olduğu ve R′n(x)+1x2Rn(x) nin bir rasyonel fonksiyon olduğu zor değil.
Ayrıca, her x<0 için f(n+1)(x)=0 olduğu da kolay.
Sadece f(n+1)(0)=0 olduğunu göstermek kaldı.
(Soldan türev) f(n+1)(0−)=0 olduğu da aşikar.
(Sağdan türev) f(n+1)(0+)=0 olduğunu göstermek yeterli olacaktır.
f(n+1)(0+)=lim olur.
tR_n(\frac1t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)} (ikisi de (n ye bağlı) polinom ve Q(t) sabit 0 değil) olsun.
Her k\geq0 doğal sayısı için (k>0 için L'Hospital in Kuralı ile) , \lim_{t\to+\infty}\frac{t^k}{e^t}=0 olduğundan,
\lim_{t\to+\infty}\dfrac{P(t)}{e^t}=0 olur. \lim_{t\to+\infty}\dfrac1{Q(t)} ( Q(t) sabit ise 0 dan farklı bir sayı, değilse 0) bir sayı olduğu için
f^{(n+1)}(0+)=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{tR_n(\frac1t)}{e^t}=0 olur.
Tümevarım İlkesinden, iddiamız ispatlanmış olur.