Bu fonksiyonun her herde türevlenebildiğini gösteriniz

0 beğenilme 0 beğenilmeme
64 kez görüntülendi
$f(x)=\begin{cases}0,\qquad x\leq0\text{ ise}\\e^{-\frac1x},\ \ x>0\text{ ise}\end{cases}$fonksiyonunun her yerde sonsuz kez türevlenebildiğini gösteriniz. (ipucu: Tümevarım, işinize yarayabilir)
11, Ocak, 11 Lisans Matematik kategorisinde DoganDonmez (4,434 puan) tarafından  soruldu

Bu soru daha sonra soracağım bir yarışma sorusuna hazırlık olarak sorulmuştur.

(Ama o soruyu çözme için bunu bilmek zorunlu değil)

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her $n\in\mathbb{N}$ için

$f^{(n)}(x)=\begin{cases}R_n(x)e^{-\frac1x}\ x>0\text{ ise}\\0,\quad\qquad\quad x\leq0\text{ ise}\end{cases}$ olacak şekilde $R_n(x)$ rasyonel fonksiyonlarının varlığını tümevarım ile göstereceğiz.

$n=0$ için iddiamız, zaten doğru.

Bir $n\in\mathbb{N}$ (ve bir $R_n(x)$ rasyonel fonksiyonu) için, $f^{(n)}(x)=\begin{cases}R_n(x)e^{-\frac1x}\ x>0\text{ ise}\\0,\quad\qquad\quad x\leq0\text{ ise}\end{cases}$ 

Her $x>0$ için $f^{(n+1)}(x)=(R'_n(x)+\frac1{x^2}R_n(x))e^{-\frac1x}$ olduğu ve $R'_n(x)+\frac1{x^2}R_n(x)$ nin bir rasyonel fonksiyon olduğu zor değil.

Ayrıca, her $x<0$ için $f^{(n+1)}(x)=0$ olduğu da kolay.

Sadece $f^{(n+1)}(0)=0$ olduğunu göstermek kaldı.

(Soldan türev) $f^{(n+1)}(0-)=0$ olduğu da aşikar.

(Sağdan türev) $f^{(n+1)}(0+)=0$ olduğunu göstermek yeterli olacaktır.

$f^{(n+1)}(0+)=\lim_{x\to0^+}\frac{R_n(x)e^{-\frac1x}}x=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{tR_n(\frac1t)}{e^t}$  olur.

$tR_n(\frac1t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)}$ (ikisi de ($n$ ye bağlı) polinom ve $Q(t)$ sabit 0 değil) olsun.

Her $k\geq0$ doğal sayısı için ($k>0$ için L'Hospital in Kuralı ile) , $\lim_{t\to+\infty}\frac{t^k}{e^t}=0$ olduğundan,

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{P(t)}{e^t}=0$ olur. $\lim_{t\to+\infty}\dfrac1{Q(t)}$ ( $Q(t)$ sabit ise 0 dan farklı bir sayı, değilse 0) bir sayı olduğu için

$f^{(n+1)}(0+)=\lim_{t\to+\infty}\dfrac{tR_n(\frac1t)}{e^t}=0$ olur.

Tümevarım İlkesinden, iddiamız ispatlanmış olur.

6, Şubat, 6 DoganDonmez (4,434 puan) tarafından  cevaplandı
5 gün önce DoganDonmez tarafından düzenlendi
...