Aslında dizi limitlerinin $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ formu/fikri ile epsilon tanımı farklı şeyler degil mi? Iraksayan ve yakınsıyan terimler ve $\forall\epsilon>0$.

Question

Olaya somut olarak $x_n=1/n$  üzerinden yaklaşmak istiyorum,


$\epsilon-\delta$ tanımından dolayı $|1/n|<\epsilon$ önermesini $\forall\epsilon>0$ için ve her $n>N$  için sağlayan bir $N$ göstergeci vardır. ($1/n$ $0'$a yakınsak oldugundan dolayı.)

$(*)$Burada bulduğumuz bu $N$ göstergeci bir doğal sayı yani bir reel sayıdır.Dolayısıyla bu $N$ göstergecinden sonraki(büyük) tüm $n$ indisleri için $1/n=0$ olacak ($\epsilon$ tüm pozitif reel sayılar olurken önerme dogru olduğundan $\epsilon$'dan küçük olan bir sayı eğer negatif degilse $0$ olduğu için)

Bu son paragraf ($*$)   $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0$ ile çelişmemektedir,
ancak eğer $I=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dfrac1i$ durumuna göz atarsak işler değişiyor.

http://matkafasi.com/102439/harmonik-iraksakligini-ispatlayan-elementer-yontemleri?show=102439#q102439 buradaki durumlar ve bilinen öbür yöntemlere göre bu $I$ serisi ıraksaktır.

$(*)$ paragrafında anlatılana göre bir $N$ indisinden sonraki tüm terimler $0$ imiş o zaman $I$ serisi şu seri ile aynı olmalı;

$$I=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\dfrac1i=\displaystyle\sum_{i=1}^N\dfrac1i$$

2. seriyi hesaplayalım

$$\displaystyle\sum_{i=1}^N\dfrac1i=U_N$$ diye tanımlayalım

$$I=U_N=\displaystyle\sum_{i=1}^N\dfrac1i<\displaystyle\sum_{i=1}^N\dfrac11=N$$

$I$ serisi ıraksak iken burada bir $N$ dogal sayısından küçük bulduk ve çelişki elde ettil.Anlamadığım konu $\epsilon-\delta$ tanımını yaparken sonsuzu anlamamamıza rağmen ve aktaramamıza rağmen reel sayılarda tanımlı olmayan bir sonsuz(her reel sayıdan büyük) bir fikre atıfta bulunmak ama aynı zamanda biraz da sisli bırakmak. Diziler ve seriler ile ilgili analiz kitaplarındaki çoğu teoreme ve örneğe baktım ancak buradaki durum hala daha ilginç geliyor, bu yöntemi uygulayabilmeme rağmen yukarıdaki durumu anlamadım acaba tüm sorun belli bir $N$'den sonrakileri $\approx 0$ kabul etme yanlışım mı?. 

Comments

Limitin tanımıyla ilgili sıkıntı yaşıyorsun. Epsilon-delta tanımını dikkatli okuduğunda şunu söylüyor: Bir L noktası etrafında istediğin büyüklükte​ (ya da küçüklükte) bir aralık al. Bu aralığın boyu ne olursa olsun, dizinin elemanlarının bir süre sonra bu aralığa düşeceğini söyleyebiliyorsan, dizi $L$'ye yakınsıyor demektir​. Buradaki "bir süre sonra" ifadesi aralığın boyuna göre değişebilir. Çok büyük bir aralık alırsan, kısa bir süre sonra bu aralığa düşebilirsin, mesela ilk terimden başlayarak bütün elemanların bu aralıkta yer alır ama belki çok küçük bir aralık alırsan bu aralığa düşmen vakit alır, mesela belki ancak bir milyonuncu terimden sonra bu aralığa düşersin. "Her epsilon için böyle bir N bulabilirsin" ile "öyle bir N bulabilirsin​ ki her epsilon için çalışır" farklı şeyler. Yani​, ikinci paragraf​ta kurduğun "epsilon-delta tanımından dolayı" ile başlayan cümle yanlış.

---

Her epsilon için böyle bir N var ise bu N'yi bulduğumda tüm epsilonlar için çalışır, farklı dediğin bu 2 önermenin farkını anlamadım ayrıca demek istediğim şey tanımın nasıl uygulanması gerektiğini anlamadığım degıl tanımı amacının biraz dışında yorumlarken çıkan bu (bence) ilginçlik.$\forall \epsilon>0$ için sağlayan bir $N$ bulduk bu $N$ dogal sayı ve tüm pozitif reel sayılar(\epsilon) için sağlanıyor öyle ki bu $\epsilon$'dan küçük olan fark $0$ olmalı, burada ne hata var? 

Bu arada herhangi bir reel sayı aralığına düşmek ile $u$'ya yakınsayan $x_n$'nin $\forall\epsilon(u-\epsilon,u+\epsilon)$ aralığına düşmesi arasında ayrım var sanırım, bu ayrım bazı dizilerde istisna olarak aynı olabılır ama, bu epsilonun tüm pozitif reel sayılardan biri olma ihtimali yani hepsi olması direk u ya götürüyor, benim sorguladıgım şey sonsuza gıtmemız gerekırken neden gıtmedıgımız olayı.

---

Ilk cümlen hatalı yine. 

"Her doğal sayı için, o doğal sayıdan büyük başka bir doğal sayı bulabilirsin" cümlesi ile "Öyle bir doğal sayı bulabilirsin ki her doğal sayıdan büyüktür" cümlesi arasındaki farkı anlayabiliyor musun? Ilki doğru, ikincisi ise yanlış.

Epsilon-delta tanımı "her epsilon için, bir N bulabilirsin" diyor. "Öyle bir N bulabilirsin ki her epsilon için çalışır" demiyor. Eğer istersen ilk cümleyi "her epsilon için, o epsilona bağlı olarak, bir N sayısı bulabilirsin" diye oku.