Dizilerde limit

Question

$(a_n)_n$ bir dizi olsun. $a_0$ ve $a_1$ verilmiş olsun ve $n\geq$1 için $a_{n+1}$= $ua_n$ + $va_{n-1}$ olsun. Eğer $(a_n)_n$ dizisinin limiti varsa ve 0'dan farklıysa, $u$ ve $v$ sayıları hakkında ne söyleyebilirsiniz?

Yorum: $u,v \in (0,1)$ olması gerek ve yeter şart mıdır?

Comments

Genel terimi $a_0=0$, $a_1=1$ ve $a_{n+1}=a_n+a_{n-1}$ olan $(a_n)$ dizisi bildiğiniz üzere Fibonacci dizisi olarak bilinir. Genel teriminden de anlaşılacağı üzere $$u,v\notin (0,1)$$ .

---

Ancak Fibonacci dizisinin limiti yoktur.Yani ıraksaktır. $u$ ve $v$ ne olmalı ki bu dizi yakınsak olmalı?

---

Haklısın orayı atlamışım.

---

Birkaç terim açınca, $a_n$'nin genel formunun, $f_{ik}, g_{ik}\in \mathbb{N}$ olmak üzere,  $$a_n=f_n(u, v)a_1+g_n(u,v)a_0,$$ $$f_n(u, v)=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-2}f_{ik}u^iv^k,$$ $$g_n(u, v)=\sum_{i=0}^{n-2}\sum_{k=0}^{n-1}g_{ik}u^iv^k$$ olduğu görülecektir. Eğer aynı anda $a_0, a_1 >0$ veyâ $a_0, a_1<0$ sağlanıyorsa, o hâlde $a_n$'nin yakınsak olması için $f_n$ ve $g_n$ serîlerinin de yakınsak olmaları gerekir ve yeter. Bu serîlerin yakınsak olması için ise görebildiğim kadarıyla $u, v \in (0,1)$ olmalı. 

$a_0, a_1$'in işâretlerinin farklı olması durumu oldukça karışık gibi.  

---

$f_n$ ve $g_n$ serilerinin ayrı ayrı yakınsak olmaları gerekli mi? Toplamlarının yakınsak olması  yetmez mi?

---

Ayrı ayrı yaşadıkları için öyle yazdım. Ama çok da önemli değil bu aşamada, bence. Yorumumda "zannettiğimi" söylediğim şeylerin isbâtı önemli. Ama nasıl olacak bilmiyorum! Bir çeşit tümevarımla mı olacak? Denemek lâzım...

Answer 1

Öncelikle güzel bir soru olduğunu ifade etmek isterim.

Ben aşağıdaki önermeyi kanıtlayacağım;

$u>0$ ve $v>0$ olmak üzere, 

$a_{n+1}=u.a_{n}+v.a_{n-1}$         (1)

şeklindeki rekürsif dizinin sıfırdan farklı sonlu limitinin olması için gerek ve yeter koşul $u+v=1$ olmasıdır.

Kanıt: Gereklilik açıktır; 

$\lim_{k\rightarrow \infty }a_{k}=a\neq 0$

 olsun. (1)'de limite geçersek, $a=u.a+v.a$ olur ki, buradan da $u+v=1$ bulunur.

Yeterlilik: $u>0$, $v>0$ ve $u+v=1$ olsun. (1)'de $u=1-v$ yazalım:

$a_{n+1}=\left( 1-v\right) .a_{n}+v.a_{n-1}$, buradan da

$a_{n+1}-a_{n}=\left( -v\right) \left( a_{n}-a_{n-1}\right)$. 

Şimdi $a_{n}-a_{n-1}=b_{n}$ . dersek $b_{n+1}=\left( -v\right) b_{n}$.

Yani $(b_{n})$ bir geometrik dizidir. 

$b_{n+1}=\left( -v\right) ^{n}b_{1}$; 

burada $b_{1}=a_{1}-a_{0}$ dır. Yukarıdaki eşitlikten, 

$a_{n+1}-a_{n}=\left( -v\right) ^{n}b_{1}$ 

veyahutta, 

$a_{n}=a_{n+1}-\left( -v\right) ^{n}b_{1}$ 

bulunur. Bu son eşitliği $m$-defa tekrar edersek,

$a_{n}=a_{n+2}-\left( -v\right) ^{n+1}b_{1}-\left( -v\right)^{n}b_{1}=...=a_{n+m}-\left( -v\right) ^{n+m-1}b_{1}-\left( -v\right)^{n+m-2}b_{1}-...-\left( -v\right) ^{n}b_{1}$ 

elde edilir. Buradan da

$\left\vert a_{n+m}-a_{n}\right\vert \leq \left\vert b_{1}\right\vert \left(v^{n+m-1}+v^{n+m-2}+...+v^{n}\right) \leq \left\vert b_{1}\right\vert \frac{1}{1-v}v^{n}$ 

bulunur. Yani

$\left\vert a_{n+m}-a_{n}\right\vert \leq  |b_1|\frac{1}{1-v}v^n$. Burada $0<v<1$ olduğundan $\left\{ a_{n}\right\} _{n\geq 1}$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğu çıkar. Dolayısıyla sonlu limiti vardır.

Answer 2

Dizi yakınsak ise (limit $0$ olsun ya da olmasın) her $i$ için $(x_n - x_{n-i})_n$ dizisi sıfıra yakınsayacaktır. O zaman bu şekilde özyinelemeli (recursive) tanımlanmış bir $(x_n)_n$ dizisinin  yakınsayabilmesi için gerekli koşul $u+v=1$ olmalıdır. Değilse ve dizi hala yakınsak ise o zaman ancak $0$'a yakınsayabilir.

Comments

$a_0$ ve $a_1$ farkli olup $u$=0 ve $v$=1 oldugunda dizinin limiti yok. Yani $u$ + $v$ = 1 olmasi yeterli degil.

---

Ben de "gerekli" dedim zaten, "yeterli" degil.

---

Haklısınız, gözümden kaçmış.