(X∞,τ∞) topolojik uzayının kompakt olduğunu gösteriniz.
Herhangi bir acik ortusunu alalim. Bu acik ortudeki acik kumelerden en az bir tanesi ∞ noktasini icermeli. Bu acik kumenin icermedigi kisim zaten tikiz oldugundan geri kalan acik kumelerden sonlu tanesi bu kumeyi orter. Dolayisiyla sonlu bir ortu bulmus oluruz.
A,X∞'un τ∞-açık örtüsü yani A⊆τ∞ ve X∞=∪A olsun.
(A⊆τ∞)(X∞=∪A)⇒(∃A∈A)(∞∈A)
⇒(∃B⊆X)(B,τ-kapalı)(B,τ-kompakt)(A=X∞∖B)B∗:={X∩A|A∈A}⇒B⊆∪B∗}⇒
⇒(∃B⊆B∗)(|B|<ℵ0)(B⊆∪B)A∗:={∖B}∪{A|X∩A∈B∗}}⇒(A∗⊆A)(|A∗|<ℵ0)(X∞=∪A∗).