Tıkızlama nasıl yapılıyor?

Question

Hikayeye soyle basliyayim. $\mathbb R^n$ de bir tikizlama nasil yapilir.

Tabi oncesinde bi $\mathbb R$'den basladim.

$\mathbb R$ alisagelmis topolojide kompat degil. Buna sonsuz adini verdigimiz bir $\infty$ noktasi ekliyoruz.  Bu sonsuzu aslinda bildigimiz eksi sonsuz ile arti sonsuzun bir gormesi olarak gordugumuzde $\infty$ etrafindaki (delta komsuluklu) acik kumeler $$\{x\in R\cup\{ \infty \} :|x|>\delta\}$$ oluyor. Haliyle $\infty$ dedigimiz tum gercel sayilardan buyuk. 

$\infty$ etrafindan en az bir acik kume alacagimizdan geriye kalan da kapali  bir aralik olacagindan tikizlamis oluruz. 

Eger $\mathbb R^2$'ye gidersek: 

Once Her gercel sayi icin $(a,\infty)$ ekledim, sonra bir de $(\infty,\infty)$.

Eger $\mathbb R^n$'ye gidersek: 

Ayni sekilde geometrisini gorebiliyorum. 

Sorum: Bunu gormek kolaydi (kolay geldi ama). Daha genel olarak tikizlama nasil yapilir? 

Answer 1

Öncelikle şu iki teoremi verelim:

TEOREM 1. $(X,\tau)$ topolojik uzay, $\infty$ (sonsuz noktası) uzayın tüm noktalarından farklı bir nokta, $X_{\infty}=X\cup\{\infty\},$ $\mathcal{A}=\{X_{\infty}\setminus A|(A\subseteq X)(A, \tau\text{-kapalı})(A, \tau\text{-kompakt})\}$ ve $\tau_{\infty}:=\tau\cup\mathcal{A}$ olmak üzere $(X_{\infty},\tau_{\infty})$ ikilisi bir topolojik uzaydır.

İSPAT : 

$\left.\begin{array}{rr} \mathbf{T_1)} \mbox{ } (X,\tau) \text{ topolojik uzay}\Rightarrow \tau, X\text{'de topoloji}\Rightarrow \emptyset\in\tau \\ \tau_{\infty}:=\tau\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow \emptyset\in\tau_{\infty}.$

$\left.\begin{array}{rr} \mbox{ } (\emptyset\subseteq X)(\emptyset, \tau\text{-kapalı})(\emptyset, \tau\text{-kompakt})\Rightarrow X_{\infty} = X_{\infty}\setminus \emptyset \in\mathcal{A} \\ \tau_{\infty}:=\tau\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow X_{\infty}\in\tau_{\infty}.$

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in \tau_{\infty}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \mbox{ } A,B\in \tau_{\infty} \\ \tau_{\infty}:=\tau\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow A,B\in\tau\cup\mathcal{A}$

$\hspace3cm\Rightarrow [(A,B\in\tau)\vee (A\in\tau,B\in\mathcal{A})\vee (A\in\mathcal{A},B\in\tau) \vee (A,B\in\mathcal{A})]$

I. durum: $A,B\in\tau$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \mbox{ } A,B\in\tau\Rightarrow  A\cap B\in \tau \\ \tau_{\infty}:=\tau\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow A\cap B\in\tau_{\infty}.$

II. durum: $A\in\tau$ ve $B\in\mathcal{A}$ olsun.

$(A\in\tau)(B\in\mathcal{A})\Rightarrow (A\in\tau)(\exists C\subseteq X)(C, \tau\text{-kapalı})(C, \tau\text{-kompakt})(B=X_{\infty}\setminus C)$

$\hspace 2,85cm\left.\begin{array}{rr} \mbox{ } \Rightarrow A\cap B=A\cap (X_{\infty}\setminus C)=A\cap (X\setminus C)\in \tau \\ \tau_{\infty}:=\tau\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow A\cap B\in\tau_{\infty}.$

III. durum: II. durum ile aynı.

IV. durum: $A,B\in\mathcal{A}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} \mbox{ }  A\in\mathcal{A}\Rightarrow (\exists C\subseteq X)(C, \tau\text{-kapalı})(C, \tau\text{-kompakt})(A=X_{\infty}\setminus C)  \\ B\in\mathcal{A}\Rightarrow (\exists D\subseteq X)(D, \tau\text{-kapalı})(D, \tau\text{-kompakt})(B=X_{\infty}\setminus D)  \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (C\cup D\subseteq X)(C\cup D, \tau\text{-kapalı})(C\cup D, \tau\text{-kompakt})(A\cap B=(X_{\infty}\setminus C)\cap (X_{\infty}\setminus D))$

$\Rightarrow (C\cup D\subseteq X)(C\cup D, \tau\text{-kapalı})(C\cup D, \tau\text{-kompakt})(A\cap B=X_{\infty}\setminus (C\cup D))$

$\hspace -0.3cm\left.\begin{array}{rr} \mbox{ } \Rightarrow A\cap B\in \mathcal{A} \\ \tau_{\infty}:=\tau\cup\mathcal{A}\end{array}\right\}\Rightarrow A\cap B\in\tau_{\infty}.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{B}\subseteq \tau_{\infty}$ olsun.

$\mathcal{B}\subseteq \tau_{\infty}\Rightarrow (\exists \mathcal{B}_1\subseteq\tau)(\exists \mathcal{B}_2\subseteq\mathcal{A})(\mathcal{B}=\mathcal{B}_1\cup\mathcal{B}_2)\Rightarrow \cup \mathcal{B}=(\cup\mathcal{B}_1)\cup(\cup\mathcal{B}_2)\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr} \mbox{ } \mathcal{B}_1\subseteq\tau \\ (X,\tau) \text{ topolojik uzay}\Rightarrow \tau, X\text{'de topoloji}\end{array}\right\}\Rightarrow \cup\mathcal{B}_1\in\tau\ldots (2)$

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{B}_2\subseteq \mathcal{A} \\ \mathcal{B}_{2}^{'}:=\{A| (A\subseteq X)(A, \tau\text{-kapalı})(A, \tau\text{-kompakt})(X_{\infty}\setminus A\in\mathcal{B}_2)\}\end{array} \right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow \left(\cap\mathcal{B}_{2}^{'}\subseteq X\right)\left(\cap\mathcal{B}_{2}^{'}, \tau\text{-kapalı}\right)\left(\cap\mathcal{B}_{2}^{'}, \tau\text{-kompakt}\right)\left(\cup\mathcal{B}_2=X\setminus \left(\cap \mathcal{B}_{2}^{'}\right)\right)$

$\Rightarrow \cup\mathcal{B}_2\in\mathcal{A}\ldots (3)$

$(1),(2),(3)\Rightarrow \cup\mathcal{B}=(\cup\mathcal{B}_1)\cup (\cup\mathcal{B}_2)\in \tau\cup\mathcal{A}=\tau_{\infty}.$

O halde yukarıdaki gibi elde edilen $\tau_{\infty}$ ailesi, $X_{\infty}$ kümesi üzerinde bir topoloji yani $(X_{\infty},\tau_{\infty})$ ikilisi bir topolojik uzaydır. 

TEOREM 2. $(X_{\infty},\tau_{\infty})$ topolojik uzayı kompakttır. İspatını ayrı bir soru olarak soralım.

TANIM 1. $(X_{\infty},\tau_{\infty})$ topolojik uzayına, $(X,\tau)$ topolojik uzayının tek nokta kompaktlaştırması veya Alexandroff kompaktlaştırması denir.

Tüm bu yazılanları kısaca özetleyelim. Kompakt olmayan bir $(X,\tau)$ topolojik uzayını kompaktlaştırmak için uzaya, uzayın tüm noktalarından farklı bir nokta eklenir. Topolojiye ($\tau$ ailesine$)$  

$$(A\subseteq X)(A, \tau\text{-kapalı})(A, \tau\text{-kompakt})$$ koşulunu sağlayan kümelerin yeni uzaya göre $(X_{\infty}$'a göre$)$ tümleyenleri ilave edilir. Elde edilen uzay $((X_{\infty},\tau_{\infty})$ topolojik uzayı$)$ kompakt bir topolojik uzay olur.