Hausdorff bir X uzayının yerel tıkız olması

1 beğenilme 0 beğenilmeme
43 kez görüntülendi

 Kanıtı bana hiç de bariz gelmeyen şu teoreme bakalım:

$X$ bir Hausdorff, $T_2$, uzayı olsun. $X$ yerel olarak tıkızdır (locally compact) ancak ve ancak verilmiş bir $x \in X$ ve $x$'in bir $U$ komşuluğu için $x$'in bir $V$ komşuluğu vardır öyle ki $\overline{V}$ tıkızdır ve $\overline{V} \subset U$.

Munkres'teki kanıt şöyle:

Teoremin soldan sağa kısmı için, bir $x \in X$ ve $x$'in bir $U$ komşuluğunu alalım. $X$ yerel tıkız ve Hausdorff olduğundan $X$'in bir tek nokta tıkızlığı(? one point-compactification) $Y$ vardır. (Bu $Y$ tıkız ve Hausdorff bir uzaydır, $Y$'nin $X$'ten farkı tek bir noktadır ve $X$'in kapanışı $Y$'yi verir.)

$C = Y-U $ tanımlayalım. $U$ açık olduğundan $C$, $Y$'de kapalıdır. $Y$ tıkız ve $C$ kapalı olduğundan $C$ de tıkızdır. O zaman şu lemmayı kullanarak aşağıdakini diyebiliriz:

lemma: $X$ bir Hausdorff uzay, $Y$, $X$'in tıkız bir altuzayı olsun ve bir $x_0 \in X$ noktası için  $Y$, $x_0$'ı içermesin. O zaman 2 ayrık açık küme vardır $U$ ve $V$ öyle ki $U$ kümesi $Y$'yi kapsar, $V$ kümesi de $x_0$ ı içerir.

$V$ ve $W$ diye iki ayrık açık küme vardır öyle ki $V$ kümesi $x$'i, $W$ kümesi de $C$'yi içerir. O zaman $\overline{V}$ kapalı olduğundan $Y$'de tıkızdır ve $C$'den ayrıktır. Böylece tıkız bir küme bulduk öyle ki $\overline{V} \subset U$. 

Şimdi, kanıt çok şık. Lakin dediğim gibi hiç bariz gelmiyor bana. Daha "açık" bir kanıt verebilir misiniz veya bana nasıl bir yol gösterebilirsiniz?

31, Mayıs, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Kirmizi (473 puan) tarafından  soruldu
...