Hausdorff bir X uzayının yerel tıkız olması

Question

 Kanıtı bana hiç de bariz gelmeyen şu teoreme bakalım:

$X$ bir Hausdorff, $T_2$, uzayı olsun. $X$ yerel olarak tıkızdır (locally compact) ancak ve ancak verilmiş bir $x \in X$ ve $x$'in bir $U$ komşuluğu için $x$'in bir $V$ komşuluğu vardır öyle ki $\overline{V}$ tıkızdır ve $\overline{V} \subset U$.

Munkres'teki kanıt şöyle:

Teoremin soldan sağa kısmı için, bir $x \in X$ ve $x$'in bir $U$ komşuluğunu alalım. $X$ yerel tıkız ve Hausdorff olduğundan $X$'in bir tek nokta tıkızlığı(? one point-compactification) $Y$ vardır. (Bu $Y$ tıkız ve Hausdorff bir uzaydır, $Y$'nin $X$'ten farkı tek bir noktadır ve $X$'in kapanışı $Y$'yi verir.)

$C = Y-U$ tanımlayalım. $U$ açık olduğundan $C$, $Y$'de kapalıdır. $Y$ tıkız ve $C$ kapalı olduğundan $C$ de tıkızdır. O zaman şu lemmayı kullanarak aşağıdakini diyebiliriz:

lemma: $X$ bir Hausdorff uzay, $Y$, $X$'in tıkız bir altuzayı olsun ve bir $x_0 \in X$ noktası için  $Y$, $x_0$'ı içermesin. O zaman 2 ayrık açık küme vardır $U$ ve $V$ öyle ki $U$ kümesi $Y$'yi kapsar, $V$ kümesi de $x_0$ ı içerir.

$V$ ve $W$ diye iki ayrık açık küme vardır öyle ki $V$ kümesi $x$'i, $W$ kümesi de $C$'yi içerir. O zaman $\overline{V}$ kapalı olduğundan $Y$'de tıkızdır ve $C$'den ayrıktır. Böylece tıkız bir küme bulduk öyle ki $\overline{V} \subset U$. 

Şimdi, kanıt çok şık. Lakin dediğim gibi hiç bariz gelmiyor bana. Daha "açık" bir kanıt verebilir misiniz veya bana nasıl bir yol gösterebilirsiniz?