Pozitif $x$, $y$ sayıları için $ x^3+y^3=x-y $ ise $x^2+y^2<1$ olduğunun ispatı

Question 1

C.1401 sorusunun İngilizce'den Türkçe'ye çevirisi.

Pozitif x , y sayıları , $ x^3+y^3=x-y $ denklemini sağlar.

$x^2+y^2$ < 1 olduğunu ispatlayınız.

Yorumum şöyle:

$ (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$ ve $ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy$

bu sorunun çözümüne katkısı olabilir mi?

Question 2

$x^3<x^3+y^3=x-y<x$ den $0<x<1$ olduğu elde edilir.

Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden $x^2=\sqrt{x\cdot x^3}\leq\frac{x+x^3}2$ ve

$y^2=\sqrt{y\cdot y^3}\leq\frac{y+y^3}2$ olur. Toplarsak:

$x^2+y^2\leq\frac{x+x^3+y+y^3}2=\frac{x+y+x-y}2=x<1$ elde edilir.

Question 3

Elinize sağlık. ilk satırdaki 0<x<1 ifadesi nasıl elde edildi?

Question 4

$x>0$ ve $x^3<x$ (yani $x^3-x=x(x-1)(x+1)<0$) oluşundan elde ediliyor.

DoganDonmez · Answer 1 · 2017-03-01T12:03:02+0000

$x^3<x^3+y^3=x-y<x$ den $0<x<1$ olduğu elde edilir.

Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden $x^2=\sqrt{x\cdot x^3}\leq\frac{x+x^3}2$ ve

$y^2=\sqrt{y\cdot y^3}\leq\frac{y+y^3}2$ olur. Toplarsak:

$x^2+y^2\leq\frac{x+x^3+y+y^3}2=\frac{x+y+x-y}2=x<1$ elde edilir.

Elinize sağlık. ilk satırdaki 0<x<1 ifadesi nasıl elde edildi? — suitable2015, 1 Mart 2017
$x>0$ ve $x^3<x$ (yani $x^3-x=x(x-1)(x+1)<0$) oluşundan elde ediliyor. — DoganDonmez, 1 Mart 2017

Lütfen yorum eklemek için giriş yapınız veya kayıt olunuz.