Soruyu birazcık düzenleyelim $x,y\in\mathbb{R}^+$ olarak... ifadeyi yazalım $x^3+y^3+\dfrac{1}{27}=xy$ her iki tarafi $3$'e bolersek $\dfrac{x^3+y^3+\frac{1}{27}}{3}=\sqrt[3]{x^3\cdot y^3\cdot\dfrac{1}{27}}=\dfrac{xy}{3}$ oldugunu, yani bu sayıların aritmetik ortalamasıyla geometrik ortalamasının eşit olduğunu görüyoruz.O zaman bu ifade minimum değerinde. Minimum olduğuna varmamız $A.O\geq G.O$ dan. Bu durum da $x^3=y^3=\dfrac{1}{27}$ olduğunda saglanıyor. Ama bu cozum pozitif gercel sayilar icin gecerli. Bir adet negatif cozumu de var. Onun hakkinda bir fikrim yok, umarim bir hocam o konuyu da aydinlatir.