Logaritma / Taban değiştirme yöntemi

Question

$\log _{4x}2x=m$ ise $log_x2$ ifadesinin m cinsinden değeri kaçtır?

Sağdakinin tabanını 4x yaparak yazmaya çalıştım , $4x^m=2x$ vs. dedim fakat soru için herhangi bir çıkış noktası bulamadım.(Normalde bu tip sorularda taban eşitleyince hemen çıkardı.Fakat bunda neden böyle oldu bir fikrim yok:))

Comments

Cevaplara ek olarak: Aslinda $m=1/2$ durumunu da incelemek gerekebilir. 

Answer 1

$(4x)^m=2x$  

$2^{2m}.x^m=2.x$  

 ise $2^{{2m}-1}=x^{1-m}$ her iki tarafın $\frac{1}{1-m}$ üssünü alırsak 

$x=2^\frac{2m-1}{1-m}$ olarak bulunur 

$log_x2=\frac{1-m}{2m-1}$ dir

Comments

Elinize sağlık.

Answer 2

Güzel başlangıç;

Ama $4x^m=2x$ değil;


$$(4x)^m=2x$$

ve

$$\log_x2=u$$ dersek,

$$4^mx^m=2x\quad\to\quad x^{m-1}=\dfrac2{2^{2m}}$$ logaritma tabanına uygularsak, $$\log_x\left(\dfrac{2}{2^{2m}}\right)=\log_x2-2m\log_x2=m-1$$

$\log_x2=u$ oldugundan;

$$u-2mu=m-1$$

sadeleştirirsek;

$$u=\dfrac{m-1}{1-2m}$$

Comments

Bu çözüm de gayet güzelmiş.Fakat değişken değiştirmek yerine yukarıdaki yoldan gidilse daha kısa gibi.Fakat bu yol da aynı şekilde güzel bir yol.

Answer 3

Taban değiştirme ile,

$$\frac{log(2x)}{log(4x)}=m\Rightarrow mlog(4x)=log(2x)$$

$$mlog4+mlogx=log2+logx$$

$$mlogx-logx=log2-2mlog2$$

$$(m-1)logx=(1-2m)log2$$

$$\frac{m-1}{1-2m}=\frac{log2}{logx}\rightarrow \frac{m-1}{1-2m}=log_x2$$

Comments

Cevabınız için teşekkür ederim hocam.

---

Önemli değil. Kolay gelsin.