$\sin x+\cos y=\dfrac {1} {3}$ ve $\cos x-\sin y=\dfrac {1} {2}$ olduğuna göre, $\sin \left( x+y\right)$ değerini bulunuz.

Question

Öncelikle $\sin \left( x+y\right)$'yi formüle göre yazdım. $\sin x+\cos y=\dfrac {1} {3}$ ifadesinde de $\cos y$'yi karşıya attım. Aynısını diğer ifadede de uygulayıp formüle yerleştirdim ama olmadı tabii ki. İşlem çok uzadı, sonuç hüsran. Yardımcı olursanız sevinirim. 

Comments

Her bir ifadenin karesini ayrı ayrı  alın.

Bunları altalta yazıp sol ve sağ tarafları toplayın.

Sayıları sağa alın.

solda sin(x+y) kalıyor.

Sağda ( (1/9)+(1/4)-2)/2  kalır. 

Answer 1

Her iki ifadenin karesini alır ve taraf tarafa toplarsak.

$sin^2x+cos^2x+sin^2y+cos^2y+2.(sinx.cosy-siny.cosx)=\frac{13}{36}$ gelir.2 parantezine alınan bir $sin(x-y)$ olduğu bellidir.

$2+2.sin(x-y)=\frac{13}{36}$ ise $sin(x-y)=\frac{-59}{72}$ gelir.

İlk ifadeyi taraf tarafa toplarsak ve sin ve cos'lu toplam formülü kullanırsak.

$2.cos(\frac{x+y}{2}).sin(\frac{x-y}{2})+2.cos(\frac{x+y}{2}).cos(\frac{x-y}{2})=\frac{5}{6}$ ise paranteze alırsak.

$2.cos(\frac{x+y}{2}).(sin(\frac{x-y}{2}+cos(\frac{x-y}{2})=\frac{5}{6}$ olur.

$x+y=2a$ ve $x-y=2b$ dersek.$sin(x-y)=sin(2b)=2.sinb.cosb=(sinb+cosb)^2-1=\frac{-59}{72}$ gelir.

$2.cos(a).((sin(b)+cos(b))=\frac{5}{6}$ olur.$Sinb+cosb=\frac{\sqrt{11}}{6}$ gelir.

Bunu yerine yazarsak.$2.cos(a).\frac{\sqrt{11}}{6}=\frac{5}{6}$ Buradan $cosa=\frac{5}{2.\sqrt{11}}$ gelir.Bize sorulan sin(2a) olduğuna göre $cos(2a)=2cosa^2-1$ olduğuna göre Buradan cos2a bulunur daha sonra üçgen çizip sin2a -'da bulunur.

Comments

Teşekkür ederim.