Denklemler ile ilgili bir soru

Question

$x$ ve $y$ doğal sayı olmak üzere,$y^2=x^2+60$ denklemini sağlayan $y$'nin farklı değerlerinin toplamı kaçtır?

Ben, $x=1,2,3,4...$ diye denedim fakat bi süre sonra hem sayı çok büyüdü hem de ileride de sağlayan bir değer var mı,bulduğum değerlerden başka bir değer de sağlar mı diye şüpheye düştüm.$y^2-x^2=60$ diye yazıp iki kare farkından bir şey elde etmeye çalıştım fakat o türlü de elle tutulur bir ipucu yakalayamadım.

Comments

x ve y tamsayi mi?

---

Doğal sayı, yazmayı unutmuşum yeni farkettim.

---

Grafiği çizilirse ekseni y olan bir hiperbol  elde  edilir.

---

Bunun grafiğini nasıl çizeceğimi bilmiyorum hocam, hiperbolleri de daha öğrenmedik zaten.Fakat kitapta olduğuna göre,daha basit bir çözüm yöntemi olması mümkün müdür sizce?

---

İfadeyi karşıya at $(y-x).(y+x)=60$ gelir.Buradan sağdaki ifadenin büyük olması gerektiği ve her iki çarpanında çift olması gerektiğini düşünmen gerekir.(Peki neden böyle bu durum?).Bunu sağlayan bir tek $6.10$ durumu var.

---

Doğal sayı dendiği için bu durum böyle.

---

60 cift bir sayi ve ve carpanlarindan biri mutlaka cift olacak yani $(x+y)$ yada $(x-y)$ den biri cift olacak  bu iki ifadeyi toplarsan  $2x$ i elde edeceksin x dogal sayı oldugundan $2x$ de cift olacak sonuc olarak $Ç=?+Ç$ 

Answer 1

$y^2-x^2=60\Rightarrow (y-x)(x+y)=60$ olmalıdır. Burada $y>x$ olduğu ve ayrıca $y-x<y+x$  olduğu unutulmamalıdır.

Çarpımları $60$ olan doğal sayı çiftleri $(1,60),(2,30),(3,20),(4,15),(5,12),(6,10)$ olup, istenilen özelliklerde $y-x=2,y+x=30\Rightarrow y=16,x=14$       ve $y-x=6,y+x=10 \Rightarrow y=8 ,x=6$ olur. İstenen de $16+8=24$ olmalıdır.

Comments

Açıklayıcı bir çözüm olmuş,teşekkür ederim.

---

Önemli değil. İyi çalışmalar.