Bu zor bir soru, ancak örnek verebilirim.
$q\equiv 3,7 \pmod 8 $ bir asal olsun, $p = 2q + 1$ de bir asal olsun.
$\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ halkasının eleman sayısı $p-1 = 2q$, Burada $\overline{2} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ elemanının derecesi ya $q$ ya da $2q$ (2 olamaz, o şerefe $-1 \equiv 2q$ nail). Biz (nedense) ilk durumun olmasını istiyoruz. Demek ki $2^{q} \equiv 1 \pmod p$ ama ayni zamanda
$$ 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{2}{p} \right) \pmod p.$$
Ancak sağdaki elemanın ne olduğunu biliyoruz.
$$\left(\frac{2}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{ if } p \equiv 1,7 \pmod 8, \\ -1 &\text{ if } p\equiv 3,5 \pmod 8. \end{cases}$$
Demek ki $p \equiv 1,7$ olan Sophie Germain asalları istediğiniz özelliği sağlıyor.
$7 = 2\cdot 3 + 1$ olduğundan bir Germain asalı, ve modülo $8$ istediğimiz kalan sınıfında.
Bir sonraki örnek de $23 = 2\cdot 11 + 1$. Burada da $2$'nin $11$'inci kuvveti $1$'e eşit olur.
Yalnız dikkat edin, tüm örnekleri verdiğimi iddia etmiyorum, $p = 31$ istediğiniz özelliği sağlar ama benim verdiğim formda değildir.