Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
504 kez görüntülendi

$2^{tek}-1$ sekildeki sayilari bolmeyen asal sayilar nelerdir. Mesela 2,3,5 buna ornek ama $7|2^3-1$.

Serbest kategorisinde (25.3k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 504 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu zor bir soru, ancak örnek verebilirim.


$q\equiv 3,7 \pmod 8 $ bir asal olsun, $p = 2q + 1$ de bir asal olsun.


$\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}$ halkasının eleman sayısı $p-1 = 2q$, Burada $\overline{2} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ elemanının derecesi ya $q$ ya da $2q$ (2 olamaz, o şerefe $-1 \equiv 2q$ nail). Biz (nedense) ilk durumun olmasını istiyoruz. Demek ki $2^{q} \equiv 1 \pmod p$ ama ayni zamanda

$$ 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{2}{p} \right) \pmod p.$$

Ancak sağdaki elemanın ne olduğunu biliyoruz.
$$\left(\frac{2}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{ if } p \equiv 1,7 \pmod 8, \\ -1 &\text{ if } p\equiv 3,5 \pmod 8. \end{cases}$$

Demek ki $p \equiv 1,7$ olan Sophie Germain asalları istediğiniz özelliği sağlıyor.

$7 = 2\cdot 3 + 1$ olduğundan bir Germain asalı, ve modülo $8$ istediğimiz kalan sınıfında.

Bir sonraki örnek de $23 = 2\cdot 11 + 1$. Burada da $2$'nin $11$'inci kuvveti $1$'e eşit olur.

Yalnız dikkat edin, tüm örnekleri verdiğimi iddia etmiyorum, $p = 31$ istediğiniz özelliği sağlar ama benim verdiğim formda değildir.




(258 puan) tarafından 
Anladigim kadariyla (yanlis da anlamis olabilirim ama) olmayan ornekleri vermissin galiba, 7 ve 23 gibi. Ben olanlari istiyordum. Tumunu bolmemesi gerekiyor bu sayilarin. Evet soru gercekten zor, ama ne kadar bulabilirsek diye sordum ve serbest katagorisine ekledim. Bu sonuc da en azindan bir kismini elettirdi. 

Evet tersini verdim.


Ancak $p = 2q + 1$ ve $p \equiv 3,5 \pmod 8$ ise o zaman sizin istediğinize örnek de bulunmuş olur.

20,205 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,809 kullanıcı