http://matkafasi.com/103577/yorungelerde-gezegenlerin-kutlecekimi-genellestiriniz
$$\overrightarrow a(t)=\overrightarrow v(t)\dfrac{\omega''(t)t+2\omega'(t)}{\omega'(t)t+\omega(t)}-(\omega'(t)+\omega(t))^2\overrightarrow r(t)$$
Buradaki cevabımdaki diferansiyel denklemi anlamak için, keplerin eşit zamanda eşit alan taranır ilkesini kullanmak istedim ve bunun için,
http://matkafasi.com/101502/tegetleri-ilgili-tegetlere-dogrularin-kesisiminin-geometrik
buradaki gibi elips mekanigini çözmek istedim ve odaktan çevreye uzanan yarıçap vektörlerinin taradıkları alanı hesaplamak için polar koordinatlı ıntegrallerı kullandım, anlatayım(özet):
Soldaki şekil için alan hesaplamaya kalkarsak;
$A=\dfrac{\theta}{2\pi}\pi r^2=\dfrac12r^2\theta$
Bu alanı sonsuz küçültüp tüm fonksiyon boyunca toplarsak;
$$\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac12[f(\theta)]^2\triangle \theta=\int_{\theta_0}^{\theta_1}\dfrac12[f(\theta)]^2d\theta$$
Olur dolayısıyla $\theta=\omega(t)t$ ise ve $\left(r(t)\right)'=v(t)$ ise;
Kısmi integrasyon ile
$$\int\dfrac12\left(r\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)^2d\theta=\dfrac12\theta\left(r\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)^2-\int \left(r\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)\dfrac{\left(v\left(\frac{\theta}{\omega}\right)\right)}{\omega}\theta d\theta$$
Soru 1:
$$\int a.b\;da\;db$$ bu integral;$$\int b\left(\int a\;da\right)db$$veya$$\int a\left(\int b\;db\right)da$$
diye ayrılır mı?
Soru 2: Dirtdörtgenlerle topladıgımız alan integrali, polar koordinatlara geçince doğru sonuç verir mi? Nasıl genelleştirip ispatlarız?
Soru 3: Sınırları görelim diye sorunun orjinalını eklıyorum;
$\vdots$
Kısmi integrasyon ile
$$\int^{\omega(t_1)t_1}_{\omega(t_0)t_0}\dfrac12\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)^2d\theta=\dfrac12\theta\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)^2-\int^{\omega(t_1)t_1}_{\omega(t_0)t_0}\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)\dfrac{\left(v\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)}{\omega(t)}\theta d\theta$$
Burada;
$$\int^{\omega(t_1)t_1}_{\omega(t_0)t_0}\left(\overrightarrow r\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)\dfrac{\left(v\left(\frac{\theta}{\omega(t)}\right)\right)}{\omega(t)}\theta d\theta$$
Bu integral, soru 1 deki gibi nasıl ayrılır?