Bu geçiş ne zaman vardır? $\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\sum_{i=a}^b u_i(x,y)\right)=\displaystyle\sum_{i=a}^b\left( \dfrac{d}{dx}u_i(x,y)\right)$

Question

$c_i\in\mathbb R$  o.ü.;

$\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty c_i (f(x))^i\right)}_{1}=\underbrace{\displaystyle\sum_{i=1}^\infty\left( \dfrac{d}{dx}c_i (f(x))^i\right)}_{2}=\underbrace{i.\displaystyle\sum_{i=1}^\infty c_i (f(x))^{i -1}f'(x)}_{3}$ 

Yani daha genel olarak;

$\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\sum_{i=a}^b u_i(x,y)\right)}_{1}=\underbrace{\displaystyle\sum_{i=a}^b\left( \dfrac{d}{dx}u_i(x,y)\right)}_{2}$

İlk ve ikinci durumda da $1$'den $2$'ye geçişleri hangi şartlar sağlar?

Ve bunların yakınsaklık ıraksaklık ile alakası var mı?

Comments

Türev lineer bir operatör olduğu için sonlu toplamları sonlu toplamlara götürür. Dolayısıyla, "yani daha genel olarak" dedikten sonra dedikten sonra yazdığın şey hep doğru (yani aslında daha genel değil). 

Ilk yazdığın şey için neden iki değişkenli bir denklem kullandığını anlamadım. Eğer $x$e bağlı bir fonksiyon olarak düşünürsek: Eğer seri düzgün yakınsıyorsa bunu yapabilirsin. Üçe nasıl geçtiğini anlamadım ama.

---

$d/dx$ dedıgım ıcın $x'$ e gore normal turev aldım,$c_i$'ler zaten sabit

---

Tamam, anladım. (Bir de $i$'nin içeride olması lazım, di mi?)

---

Evet abi, notasyonu kaçırmışım bu arada Sophomore's dream için cevap yazıyorum ancak integralin sum'a geçişmesi için kullanılabilicek ne gibi araçlar var elde?