$\displaystyle\int \sec x \;dx$ için çözüm aklımıza gelen tüm farklı metodlarını ekleyelim.

Question

Yol 1:

$t=tan(x/2)$ seçelim;

$dt=\dfrac{dx}2(1+tan^2(x/2))$

Ve bu taktik gereği biliyoruz ki ;

$sinx=\dfrac{2t}{1+t^2}$    ve     $cosx=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$  olur.


$$\displaystyle\int secxdx=\displaystyle\int \dfrac1{cosx}dx=\displaystyle\int \dfrac{1+t^2}{1-t^2}\dfrac{2dt}{1+t^2}=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)dt$$

$$=ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|+C=ln\left|\dfrac{1+tan(x/2)}{1-tan(x/2)}\right|+C$$

Tan'ın $tan(\alpha+\beta)$ kuralından dolayı;
 
$$\displaystyle\int secxdx=ln\left|\dfrac{1+tan(x/2)}{1-tan(x/2)}\right|+C$$$$=ln\left|\dfrac{tan(\pi/4)+tan(x/2)}{1-tan(\pi/4)tan(x/2)}\right|+C=\ln\left|tan\left(\dfrac{2x+\pi}{4}\right)\right|+C$$


Denenebilinecek öbür yollar:

Yol 2:

$cos\theta=\dfrac{[e^{(i\theta)}+e^{(-i\theta)}]}{2}$

Tanımını  kullanmak,

Yol 3:

$\int \dfrac{1}{a+b\cos x}dx=\dfrac{1}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\ln \left\vert\dfrac{\sqrt{a+b}+\sqrt{b-a}\tan x/2}{\sqrt{a+b}-\sqrt{b-a}\tan x/2}\right\vert \quad a\lt b$

Yol 4: 

$sinx=2sin(x/2)cos(x/2)$

durumunu kullanmak.

Yol 5,6:

$cos^2x=(1-sinx)(1+sinx)$

$sin^2x=(1-cosx)(1+cosx)$

bkz:https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_the_secant_function

Comments

Küçük bir yazım hatasını düzelttim.

---

teşekkürler.

---

Bu integralin, Mercator un haritaları ile ilginç bir ilişkisi ve hikayesi var. İnternette bulunabiliyor (benim bulabildiklerimin hepsi İngilizce) Örneğin:

http://www.math.ubc.ca/~israel/m103/mercator/mercator.html?utm_source=weibolife

http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/MM/0025570x.di021115.02p0115x.pdf

---

Çok teşekkürler hocam, bu tür bilgileri çok seviyorum.

Answer 1

$$I=\int\sec xdx=\int\frac{1}{\cos x}dx=\int\frac{\cos x}{\cos^2 x}dx=\int\frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx$$ ve $$\sin x=u$$ dersek $$\cos xdx=du$$ olur. O halde $$I=\int\frac{du}{1-u^2}=\int\left(\frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}\right)du=\ldots$$

Comments

Hocam burada $cosx\neq0$ koşulu gerekmez mi?

---

Kesinlikle evet. Bir kesrin pay ve paydasını belirli bir ifade ile çarpıp bölerken uygun koşullarda çalıştığımızı varsayıyoruz. Mesela burada bu yaptıklarımızı $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ aralığında çalıştığımızı varsayarak yaptık veya siz $$\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}$$ kümesi üzerinde çalıştığınızı varsayarak yapabilirsiniz. Aksi takdirde yanlış sonuçlarla karşılaşabiliriz. Mesela şu örneği paylaşayım:

$$x=y$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2=xy$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2-y^2=xy-y^2$$

$$\Rightarrow$$

$$(x-y)(x+y)=y(x-y)$$

$$\Rightarrow$$

$$x+y=y$$

$$\Rightarrow$$

$$y+y=y$$

$$\Rightarrow$$

$$2=1$$

$0$ ile çarpıp bölmek burada yapılana benzer yanlış sonuçlara ulaşmamıza neden olabilir. Sadeleştirme yaparken mutlaka ama mutlaka sadeleştirilen ifadelerin $0$'dan farklı olup olmadıklarını kontrol etmeliyiz. Aksi takdirde burada olduğu gibi $$2=1$$ gibi saçma sapan bir sonuca ulaşırız.

Answer 2

$\int \sec x\, dx=\int \frac {\sec x(\sec x+\tan x)}{(\sec x+\tan x)}\, dx$

$u=\sec x+\tan x$ 

$du=(\sec x \tan x+\sec ^2 x) \,dx$

Buradan

$\int \frac {du}{u}=\ln \mid u \mid+c=\ln \mid \sec x+\tan x \mid+c$

Comments

Burada $x\neq \frac{3\pi}{2}+2\pi.k,\quad k\in Z$ koşulu gerekmez mi acaba?

---

Belirsiz integral oldugu icin gerek yok sanirim...