$f(x(t),y(t))$'nin $t$ ye göre türevi ve $f(x(t),y(t),z(t))$'nin t ye göre türevini nasıl bulcaz

Question

normalde tek degışkenlı one varıablelerde türev alırken dırekt olarak $d/dt(f(x,y))$ yapıyorduk sonra içerdekilerin tek tek dt ye gre turevlerıne bakıp sadeleştırıyorduk, burada tam nasıl alacagız?kafam aşşırı karıştı lutfen yardım edın uzman abılerım

Comments

biraz dagınık başlıgı ve içeriği düzenleyiniz

---

$\frac{d}{dt}[f(x(t),y(t))]=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

---

evet de zaten arkadaş bunun nedenını sormuş sanırım, biraz düşündüm ben de ama 3 boyutlu yüzeylere bakmak gerek .

Answer 1

Genel olarak şu kuralı arıyoruz;

$U(x_1(t),x_2(t),....,x_i(t))$ diye bir türevlenebilen fonksiyon tanımlarsak;

$$\dfrac{dU}{dt}=\dfrac{\partial U}{\partial x_1}\dfrac{dx_1}{dt}+\dfrac{\partial U}{\partial x_2}\dfrac{dx_2}{dt}+...+\dfrac{\partial U}{\partial x_i}\dfrac{dx_i}{dt}$$

olur ama neden?

$$-----------------------------$$
$x,y$  fonksiyonları $t$'ye bağlı olsun

$f(x(t),y(t))$ diye türevlenebilen bir fonksiyon tanımlıyoruz:

$$\dfrac{df}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$$

Olduğunu ispatlayalım

$G(t)=f(x(t),y(t))$  olsun;

$$\begin{align}\frac{\triangle G}{\triangle t}&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t),y(t))}h\\&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))\color{#3388dd}{-f(x(t+h),y(t))+f(x(t+h),y(t))}-f(x(t),y(t))}h\\&=\color{red}{\underbrace{\color{black}{\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t+h),y(t))}h}}_{A}}+\color{red}{\underbrace{\color{black}{\frac{f(x(t+h),y(t))-f(x(t),y(t))}h}}_{B}}\end{align}$$

$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\triangle G}{\triangle t}=\dfrac{dG}{dt}$

olduğundan

$$\begin{align}A&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t+h),y(t))}h\\&=\frac{f(x(t+h),y(t+h))-f(x(t+h),y(t))}{\color{#3388dd}{y(t+h)-y(t)}}\frac{\color{#3388dd}{y(t+h)-y(t)}}h\\&\to\lim\limits_{h\to 0}A=\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\end{align}$$

$$\begin{align}B&=\frac{f(x(t+h),y(t))-f(x(t),y(t))}h\\&=\frac{f(x(t+h),y(t))-f(x(t),y(t))}{\color{#3388dd}{x(t+h)-y(t)}}\frac{\color{#3388dd}{x(t+h)-y(t)}}h\\&\to\lim\limits_{h\to 0}B=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}\end{align}$$

$\dfrac{dG}{dt}=\lim\limits_{h\to 0}(A+B)=\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}$

İspat biter. $\Box$

Comments

Türev tanımındaki lim'i yazmak gerekli değil mi?

---

evet, lımıt h 0a gıttıgı barız ama eklemeyı unutmuşum :)